Kraft und das Gesetz von HOOKE

Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE

  • Wie werden im Alltag Kräfte gemessen?
  • Wie funktioniert eine Federwaage?
  • Biegt sich eine Betondecke eigentlich durch, wenn man auf ihr steht?
  • Was versteht man unter einer Zerreißprobe?
Gesetz von HOOKE
Statische Kraftmessung
Ablesen von Kraftmessern
Umrechnen von Einheiten der Kraft
Umstellen einer Gleichung
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Gesetz von HOOKE

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das HOOKEsche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper wie Federn.
  • Die Federkonstante (Federhärte) wird mit \(D\) bezeichnet.
  • Es gilt \(F=D\cdot \Delta x\) mit der Längenänderung der \(\Delta x\) der Feder.

Kraftwirkung auf elastische Körper

Größen der Längenänderung beim Hookeschen Gesetz
Abb.
1
Größen der Längenänderung beim Hookeschen Gesetz

Das Gesetz von HOOKE beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper. Dies sind z.B. Federn oder Gummibänder. Elastische Körper gehen nach einer Belastung durch Zug in ihre ursprüngliche Lage zurückgehen.

Auf die links aufgehängte Feder in Abb. 1 wirkt nur ihre Gewichtskraft \({F_0}\), da an sie keine Kugel angehängt ist. Sie hat so ohne äußere Belastung die Länge \({x_0}\). Belastest du die Feder bspw. durch Anhängen einer Kugel so, wirkt zusätzlich eine Kraft \(F_{\rm{Kugel}}\) auf die Feder. Insgesamt wirkt jetzt also die Kraft \(F=F_0+F_{\rm{Kugel}}\) auf die Feder.

Die Feder dehnt sich aus und hat nun mit angehängter Kugel die Länge \(x\). Die Längenänderung \(\Delta x\) der Feder ist also \(\Delta x=x-x_0\). 

Das HOOKEsche Gesetz

Natürlich hängt die Längenänderung auch von der zusätzlichen Kraft \(F\) ab, die bspw. durch Anhängen von Kugeln mit unterschiedlichen Massen verändert werden kann.

In Versuchen kannst du zeigen, dass der Quotient aus Kraftzunahme und Längenzunahme der Feder konstant ist. Diese Konstante wird als Federhärte oder Federkonstante \(D\) bezeichnet.\[\bbox[aquamarine,10pt,border:2px solid black]{D = \frac{{\rm{Kraftänderung}}}{{\rm{Längenänderung}}}}\]

Den Zusammenhang zwischen der Federkonstanten \(D\), der Änderung der wirkenden Kraft \(\Delta F\) und der Längenänderung \(\Delta x\) der Feder beschreibt das HOOKEsche Gesetz.

HOOKEsches Gesetz

\[D = \frac{{F - {F_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\qquad \text{bzw. } \qquad \Delta F= D\cdot \Delta x\]

Verkürzte Schreibweise

Mit \(\Delta \) bezeichnet man in der Physik Differenzen zwischen zwei gleichartigen physikalischen Größen:

\(\Delta x\) = Endwert einer Länge - Anfangswert einer Länge (also nicht \(\Delta x\) mit der Federlänge verwechseln!)

\(\Delta F\) = Endwert einer Kraft - Anfangswert einer Kraft

Entsprechend beschreibt das Hookesche Gesetz eine Längenänderung in Folge einer Kraftänderung.

Um sich die vielen Differenzen bzw, \(\Delta\)-Zeichen zu sparen, kann man auch eine verkürzte Schreibweise nutzen: Anstatt \(\Delta F\) schreibt man häufig einfach \(F\) und bezeichnet damit die Gewichtskraft der an die Feder angehängten Masse. Und anstatt \(\Delta x\) findet sich häufig auch der Ausdruck \(s\) für die Strecke, um die sich die Feder verlängert hat.

Entsprechend lautet das Hookesche Gesetz in verkürzter Form: \[F=D\cdot s\]

Grenzen der Gültigkeit

Der Gültigkeitsbereich des HOOKEschen Gesetzes ist (wie der eines jeden physikalischen Gesetzes) beschränkt. So kann man nach Hooke z.B. nicht die Verlängerung einer in der Schule üblichen Schraubenfeder berechnen, wenn man sie mit \(4000N\) belastet. Hier würde die Feder einfach brechen.

Hilfen für Aufgaben

Bei vielen Aufgaben ist die Masse \(m\) eines Körpers gegeben, mit der die Feder zusätzlich belastet wird. Um das Gesetz von Hooke anwenden zu können, musst du zuerst die Gewichtskraft \({F_g}\) des Körpers nach der Beziehung \({F_g} = m \cdot g\) berechnen. Dabei bedeutet \(g\) die Erdbeschleunigung, also \(9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).

Um Aufgaben zum Gesetz von HOOKE zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{F}}} = D \cdot s\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{F_{\rm{F}}} = {D} \cdot {s}\]nach ...
\({F_{\rm{F}}}\) \({D}\) \({s}\)
 
 
 
Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{F}}} = {D} \cdot {s}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{F}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die die Gleichung\[{F_{\rm{F}}} = \color{Red}{D} \cdot {s}\]nach \(\color{Red}{D}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{D} \cdot {s} = {F_{\rm{F}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{D} \cdot {s}}{{s}} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{s}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({s}\).\[\color{Red}{D} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{s}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{D}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[{F_{\rm{F}}} = {D} \cdot \color{Red}{s}\]nach \(\color{Red}{s}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{D} \cdot \color{Red}{s} = {F_{\rm{F}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({D}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({D}\) im Nenner steht.
\[\frac{{D} \cdot \color{Red}{s}}{{D}} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{D}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({D}\).\[\color{Red}{s} = \frac{{F_{\rm{F}}}}{{D}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{s}\) aufgelöst.
2 Schrittweises Auflösen der Formel für das Gesetz von HOOKE nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Eine unbelastete Feder der Länge \({{x_0} = 15{\rm{cm}}}\) wird bei einer Belastung von \({{F_1} = 0,60{\rm{N}}}\) auf die Länge \({{x_1} = 25{\rm{cm}}}\) gedehnt.

  1. Berechne die Federhärte \(D\) der Feder.

  2. Berechne, mit welcher Kraft \(F_2\) man an der Feder ziehen muss, damit sie dann eineinhalbmal so lang ist wie im unbelasteten Fall.

  3. Mit obiger Feder soll ein kalibrierter Kraftmesser gebaut werden. Berechne, um welche Strecke \(\Delta x'\) die Markierung der Hülse für \({{F_3} = 0,40{\rm{N}}}\) vom unteren Ende der Hülse entfernt sein muss.

  4. Nenne zwei Gründe, die gegen die Verwendung eines "Gummikraftmessers" sprechen.

Weiterführende Artikel

Statische Kraftmessung

Die dynamische Kraftmessung ist mit einem erheblichen Aufwand verbunden. Wesentlich schneller lässt sich der Betrag einer Kraft mit Hilfe eines elastischen Körpers (z.B. Gummiband oder Schraubenfeder) bestimmen.

Hinweis: Ein elastischer Körper geht nach der Ausdehnung durch eine Belastung wieder in seine Ausgangslage zurück, wenn die belastende Kraft nicht mehr wirkt.

1 Kalibrierung eines Federkraftmesser durch Belastung mit bekannten Gewichtskräften

Wir gehen davon aus, dass durch dynamische Kraftmessung die Gewichtskraft von verschiedenen Zugkörpern bestimmt worden ist. Es sollen z.B. Zugkörper mit den Gewichtskräften vom Betrag \(1\,{\rm{N}}\), \(2\,{\rm{N}}\) und \(3\,{\rm{N}}\) zur Verfügung stehen. Hängt man jeweils einen dieser Zugkörper an die Feder, so wird diese so weit gedehnt, bis Gleichgewicht zwischen der nach unten gerichteten Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) des Zugkörpers und der nach oben gerichteten Federkraft \({{\vec F}_{\rm{F}}}\) der gedehnten Feder herrscht.

Jeder Zugkraft entspricht auf eindeutige Weise eine bestimmte Verlängerung der Feder und umgekehrt. Man kann also mit Hilfe eines elastischen Körpers die Kraftmessung auf eine Längenmessung zurückführen.

Bevor die Gewichtsmessung eines unbekannten Körpers mit einer Feder möglich ist, muss diese zunächst mit den Zugkörpern bekannter Gewichtskraft kalibriert werden. Die nebenstehende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise.

Leider sind bei der dargestellten statischen Kraftmessung noch kleinere Schwierigkeiten zu beheben:

•Die getrennt von der Feder aufgebaute Skala darf in ihrer Lage zur Feder (in vertikaler Richtung) nicht verändert werden.

•Die Kraftmessung in einer Richtung, die von der Vertikalen abweicht, bereitet Schwierigkeiten.

Fügt man die Feder und die Skala zu einem Gerät zusammen, so lassen sich die oben geschilderten Nachteile beheben.

2 Aufbau und Bedienung eines Federkraftmessers

Hinweise

•Beim Arbeiten mit Kraftmessern (vielfach wird dieses Gerät auch als Federwaage bezeichnet) muss stets darauf geachtet werden, dass der Nullpunkt im unbelasteten Fall richtig eingestellt ist. Stimmt der Nullpunkt nicht, so kann die Schraube, mit der die äußere Hülle am Halter (grau) befestigt ist, gelöst und die äußere Hülle verschoben werden. Stimmt der Nullpunkt, so wird die Schraube wieder fest gezogen.

• Bei manchen Kraftmessern erfolgt die Nullpunktskorrektur über eine Hülse, die noch zusätzlich über die äußere Hülle geschoben ist.

•Beachte, dass die Nullpunktseinstellung stark von der Lage des Kraftmessers abhängt. Ist z.B. der Nullpunkt bei der oben skizzierten vertikalen Lage korrekt eingestellt, so stimmt er bei einem schräg ziehenden Kraftmesser nicht mehr und muss daher wieder korrigiert werden.

•Je nach Anwendung verwendet man Kraftmesser mit unterschiedlichem Messbereich. Sehr empfindliche Kraftmesser arbeiten im mN-Bereich, es gibt auch Federkraftmesser im kN-Bereich.

•Um eine Überdehnung der Feder zu verhindern, besitzen manche Kraftmesser eine Sperre, die dafür sorgt, dass die Feder samt Skala nicht beliebig weit aus der äußeren Hülle gezogen werden kann.

Bespiele von verschieden ausgeführten Kraftmessern

Messbereich 5 N
(Leybold)

Messbereich 250 N

Torsionskraftmesser*
Messbereich 1N

Hinweis

 

In Mitteleuropa kann man einen relativ präzisen 1-Newton-Körper (genauer: Körper mit der Gewichtskraft \(1\,{\rm{N}}\)) gewinnen, wenn man einen Körper mit der Masse \(100\,{\rm{g}}\) (z. B. Schokoladentafel) verwendet.

Weiterführende Artikel

Ablesen von Kraftmessern

Fünf unterschiedliche Kraftmesser
Abb.
1
Fünf unterschiedliche Kraftmesser

In Versuchen und Aufgaben musst du häufig Kraftmesser korrekt ablesen. Wie dies richtig funktioniert wird dir hier erklärt.

In Abbildung 1 sind fünf Kraftmesser mit fünf verschiedenen Messbereichen dargestellt. Wie man die Kraftmesser richtig abliest, soll dir an zwei Beispielen dargestellt werden.

Beispiel 1: Kraftmesser A

Der Vollausschlag ist \({5{\rm{N}}}\). Offensichtlich besteht die Skala aus fünf Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also \({1{\rm{N}}}\) dar. Von der Skala ist ein ganzer roter Abschnitt herausgezogen (entspricht \({1{\rm{N}}}\)) und 9 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht \({0,9{\rm{N}}}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von \(1\rm{N}+0,9\rm{N}=1,9\rm{N}\) an.

Beispiel 2: Kraftmesser D

Der Vollausschlag ist \(10\rm{N}\). Offensichtlich besteht die Skala aus zehn Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also \(1\rm{N}\) dar. Von der Skala sind zwei ganze rote und zwei ganze weiße Abschnitte herausgezogen (entspricht \(4\rm{N}\)) und 3 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht \(0,3\rm{N}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von \(4\rm{N}+0,3\rm{N}=4,3\rm{N}\) an.

Verständnisaufgabe

a)Lies Kraftmesser B richtig ab.

Lösung

Der Vollausschlag ist \({25{\rm{N}}}\). Offensichtlich besteht die Skala aus fünf Abschnitten. Ein ganzer Abschnitt stellt also \({5{\rm{N}}}\) dar. Von der Skala ist ein ganzer roter und ein ganzer weißer Abschnitt herausgezogen (entspricht zusammen \({10{\rm{N}}}\)) und 2 Teile eines roten Abschnitts (entspricht zusammen \({1{\rm{N}}}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von \(10\rm{N}+1\rm{N}=11\rm{N}\) an.

b)Lies Kraftmesser C richtig ab.

Lösung

Der Vollausschlag ist \({1{\rm{N}}}\). Offensichtlich besteht die Skala aus zehn Abschnitten, also stellt ein ganzer Abschnitt \({0,1{\rm{N}}}\) dar. Von der Skala ist zwei ganze rote und ein ganzer weißer Abschnitt herausgezogen (entspricht zusammen \({0,3{\rm{N}}}\)) und 7 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht zusammen \({0,07{\rm{N}}}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von 0,3N + 0,07N = 0,37N \(0,3\rm{N}+0,07\rm{N}=0,37\rm{N}\) an.

c)Lies Kraftmesser E richtig ab.

Lösung

Der Vollausschlag ist \({100{\rm{mN}}}\). Offensichtlich besteht die Skala aus zehn Abschnitten, also stellt ein ganzer Abschnitt \({10{\rm{mN}}}\) dar. Von der Skala sind fast 8 Teile eines roten Abschnitts (entspricht zusammen \({8{\rm{mN}}}\)) herausgezogen. Der Kraftmesser zeigt also \({8{\rm{mN}}}\) an.

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Umrechnen von Einheiten der Kraft

Eine physikalische Größe kann als Produkt von Zahlenwert und Einheit aufgefasst werden: \(D=10\frac{N}{m}\) kann auch in der Form \(D = 10 \cdot 1\frac{N}{m}\) oder \(D = 10\frac{N}{m}\) geschrieben werden. Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man \([D] = 1\frac{N}{m} = \frac{N}{m}\). Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSA-System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Federhärtenangabe in \(\frac{N}{cm}\).

Musterbeispiel: Wie viel \(\frac{mN}{cm}\) sind \(10\frac{N}{m}\)? Kurz: \(10\frac{N}{m}= ?\frac{mN}{cm}\)

1. Schritt:

Drücke die gegebene Größe \(10\frac{N}{m}\) in der gesuchten Einheit \(\frac{{mN}}{{cm}}\) aus: \(10\frac{N}{m} = 10 \cdot \frac{{1000mN}}{{100cm}} = 10 \cdot \frac{{10mN}}{{cm}}\)

2. Schritt:

Vereinfache: \(10 \cdot \frac{{10mN}}{{cm}} = 1,0 \cdot {10^2}\frac{{mN}}{{cm}}\)

Ergebnis:

\(10\frac{N}{m} = 1,0 \cdot {10^{2}}\frac{{mN}}{{cm}}\)

Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissen: Genauigkeit bei Zahlenangaben)

a) \(36\frac{{mN}}{{mm}}= ?\frac{N}{m}\) b) \(72\frac{N}{dm}= ?\frac{kN}{m}\) c) \(45\frac{cN}{mm}= ?\frac{N}{cm}\)

Umstellen einer Gleichung

Bei Aufgaben zum Gesetz von Hooke reicht es nicht aus, nur die Definitionsgleichung der Federhärte \(D\) zu kennen:

\[{D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}}\]

Man muss vielmehr diese Definitionsgleichung auch nach den Größen \(\Delta F\) oder \(\Delta x\) auflösen können, um anderen Aufgabenstellungen gerecht zu werden. Hierzu benötigst du nur ein wenig Algebra.

1 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta F\)

Auflösen nach \(\Delta F\):

2 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta x\)

Auflösen nach \(\Delta x\):

Hinweis:
Ein häufiger Fehler beim Auflösen nach \(\Delta x\) schaut wie folgt aus:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \underbrace {\frac{D}{{\Delta F}} = \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{D}{{\Delta F}}}_{falsch}\]

Die richtige, aber kompliziertere Umformung (da nur nach \(\frac{1}{{\Delta x}}\) aufgelöst wird und man dann auch noch den Kehrwert bilden müsste, um auf \(\Delta x\) zu gelangen) würde lauten:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \frac{D}{{\Delta F}} = \frac{1}{{\Delta x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\Delta x}} = \frac{D}{{\Delta F}}\]

 

Es ist sehr zu empfehlen, sich die oben dargestellten Vorgehensweisen einzuprägen. Eine (nicht gymnasiale) Eselsbrücke stellen wir dir auch noch vor:

3 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach irgendeiner gesuchten Größe
  • Man ordnet die drei Größen \(\Delta F\), \(\Delta x\) und \(D\) auf die nebenstehend dargestellte Weise in einem Dreieck an.
  • Will man nach einer bestimmten Größe auflösen, so denkt man sich diese aus dem Dreieck weg.
    Die Position der verbleibenden Größen zeigt, wie der Term auf der rechten Gleichungsseite aussehen muss:
    Stehen die beiden Größen übereinander, so muss man die obere durch die untere Größe dividieren.
    Stehen die beiden Größen nebeneinander so muss man sie multiplizieren.

Hinweis:
Wir haben das Gesetz von Hooke bewusst mit \(\Delta F\) und \(\Delta x\) geschrieben, um klar zu machen, dass es auf die Änderungen ankommt. Unter gewissen Voraussetzungen kann die Formel auch einfacher angeschrieben werden:

Hatte zu Beginn eines betrachteten Vorgangs die Anfangskraft \({F_a}\) den Wert Null, so gilt natürlich:

\(\Delta F = {F_e} - {F_a} \Rightarrow \Delta F = {F_e} - 0 = {F_e}\), verkürzt \(\Delta F = F\)

War ebenso zu Beginn des betrachteten Vorgangs die Anfangsverlängerung \({x_a}\) den Wert Null, so gilt analog:

\(\Delta x = {x_e} - {x_a} \Rightarrow \Delta x = {x_e} - 0 = {x_e}\), verkürzt \(\Delta x = x\)

Dann gilt für das Gesetz von Hooke: \[D = \frac{F}{x}\]

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