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Grundwissen

Umstellen einer Gleichung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Formeln musst du manchmal umstellen, um die gesuchte Größe berechnen zu können.
  • Hilfreich als Merkregel ist dabei das entsprechende Größendreieck.

Bei Aufgaben zum Gesetz von Hooke reicht es nicht aus, nur die Definitionsgleichung der Federhärte \(D\) zu kennen:

\[{D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}}\]

Du musst diese Definitionsgleichung auch nach den Größen \(\Delta F\) oder \(\Delta x\) auflösen können, um anderen Aufgabenstellungen gerecht zu werden. Hierzu benötigst du nur ein wenig Algebra.

Auflösen nach \(\Delta F\)

Abb. 1 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta F\)

Auflösen nach \(\Delta x\)

Abb. 2 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach \(\Delta x\)

Vorsicht beim Auflösen nach \(\Delta x\)

Ein häufiger Fehler beim Auflösen nach \(\Delta x\) schaut wie folgt aus:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \underbrace {\frac{D}{{\Delta F}} = \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{D}{{\Delta F}}}_{falsch}\]

Die richtige, aber kompliziertere Umformung (da nur nach \(\frac{1}{{\Delta x}}\) aufgelöst wird und man dann auch noch den Kehrwert bilden müsste, um auf \(\Delta x\) zu gelangen) würde lauten:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \frac{D}{{\Delta F}} = \frac{1}{{\Delta x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\Delta x}} = \frac{D}{{\Delta F}}\]

 

Es ist sehr zu empfehlen, sich die oben dargestellten Vorgehensweisen einzuprägen.

Größendreieck als Merkhilfe

Abb. 3 Auflösen der Gleichung \(D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\) (Gesetz von HOOKE) nach irgendeiner gesuchten Größe

Das in Abb. 3 gezeigte Größendreieck kann dir als Merkhilfe zum richtigen Formelumstellenden dienen:

  • Du ordnest die drei Größen \(\Delta F\), \(\Delta x\) und \(D\) auf die nebenstehend dargestellte Weise in einem Dreieck an.
  • Willst du nach einer bestimmten Größe auflösen, so denkst du dir diese aus dem Dreieck weg.
    Die Position der verbleibenden Größen zeigt, wie der Term auf der rechten Gleichungsseite aussehen muss:
    Stehen die beiden Größen übereinander, so musst du die obere Größe durch die untere Größe dividieren.
    Stehen die beiden Größen nebeneinander so musst du die beiden Größen multiplizieren.

Schreibweise ohne \(\Delta\)

Wir haben das Gesetz von Hooke bewusst mit \(\Delta F\) und \(\Delta x\) geschrieben, um klar zu machen, dass es auf die Änderungen ankommt. Unter gewissen Voraussetzungen kann die Formel auch einfacher angeschrieben werden:

Hatte zu Beginn eines betrachteten Vorgangs die Anfangskraft \({F_a}\) den Wert Null, so gilt natürlich:

\(\Delta F = {F_e} - {F_a} \Rightarrow \Delta F = {F_e} - 0 = {F_e}\), verkürzt \(\Delta F = F\)

War ebenso zu Beginn des betrachteten Vorgangs die Anfangsverlängerung \({x_a}\) den Wert Null, so gilt analog:

\(\Delta x = {x_e} - {x_a} \Rightarrow \Delta x = {x_e} - 0 = {x_e}\), verkürzt \(\Delta x = x\)

Dann gilt für das Gesetz von Hooke: \[D = \frac{F}{x}\]