Gleichförmige Bewegung

Wenn sich Züge gleicher Länge begegnen, muss die Ausweichstrecke s mindestens die Länge dieser Züge haben. Da der längere Zugtyp \(L = 45{\rm{m}}\) lang ist, muss auch die Ausweichstrecke mindestens \(45{\rm{m}}\) lang sein.
\[ s \ge L \]

MNU

Sind die Züge verschieden lang, so kann die Ausweichstrecke kürzer ausfallen:\[ s \le L \]Das Bild zeigt den von rechts nach links mit der Geschwindigkeit \(v_1\) fahrenden Langzug, in der Situation, wo die Zugspitze gerade das Ende der Ausweichstrecke in A erreicht. Wenn \(s < L\) ist, so befindet sich der Langzug mit einer Länge \(L-s\) noch auf dem rechten eingleisigen Teil.

Der Kurzzug, der sich mit der Geschwindigkeit \(v_2\) von links nach rechts bewegt, befindet sich auf der unteren Ausweichstrecke (Zugende bei A).

Die Kollision wird nun gerade vermieden, wenn die Zeit, welche die Spitze des Kurzzuges für die Strecke \(s - l\) benötigt, gerade so groß ist, wie die Zeit, welche das Ende des Langzuges für die Strecke \(L - s\) braucht.\[{\frac{{L - s}}{{{v_1}}} = \frac{{s - l}}{{{v_2}}} \Leftrightarrow L \cdot {v_2} - s \cdot {v_2} = s \cdot {v_1} - l \cdot {v_1} \Leftrightarrow s \cdot ({v_1} + {v_2}) = l \cdot {v_1} + L \cdot {v_2} \Leftrightarrow s = \frac{{l \cdot {v_1} + L \cdot {v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}}\]

Je nachdem, welchen der beiden möglichen Geschwindigkeitswerte z.B. \(v_1\) annimmt, ergeben sich zwei verschiedene Fälle:

1. Fall: \({v_1} = 54\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) und \({v_2} = 36\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\): \(s=36\rm{m}\)

2. Fall: \({v_1} = 36\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) und \({v_2} = 54\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\): \(s=39\rm{m}\)

Um für alle Fälle eine Kollision zu vermeiden, muss man die Ausweichstrecke mindestens \(39\rm{m}\) lang machen.

Hinweis: Für \(l = L\) liefert die oben entwickelte Formel auch das Ergebnis von Teilaufgabe a).