Hinweis: Diese Aufgabe wurde im Rahmen des bundesweiten Wettbewerbs Physik 1995 - 1. Runde gestellt. Wenn Du dich mit den neuen Aufgaben des Wettbewerbs auseinandersetzen willst, so gehe zur MNU-Seite (Wettbewerb Physik).
Daniela Düsentrieb hat eine neue Erfindung für Fallschirmspringer gemacht, mit der man im Fall die Höhe und die Geschwindigkeit bestimmen kann: Zweimal im Abstand von einer Sekunde sendet ihr Gerät Schallsignale aus, die an der Erde reflektiert und wieder vom Gerät aufgefangen werden. Zum Testen springt sie selbst. Sobald sie eine konstante Geschwindigkeit erreicht hat, schaltet sie ihr Gerät ein und erhält die beiden Schalllaufzeiten \({\Delta t_1} = 3,30{\rm{s}}\) und \({\Delta t_2} = 3,05{\rm{s}}\).
Berechne die Geschwindigkeit von Daniela sowie die Höhe, in der sie das erste Signal abgegeben hat.
Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt \({\rm{330}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
Arbeite mit einem Zeit-Höhe-Diagramm (\(t\)-\(h\)-Diagramm) und löse das Problem grafisch.
Wir betrachten den Vorgang von Daniela aus, die sich somit in der Höhe \(h = 0\rm{m}\) befindet. Die Entfernung zur Erde beschreiben wir durch positive Zahlen \(h\), die Erde bewegt sich auf Daniela zu.
Daniela sendet zum Zeitpunkt \({t_0} = 0{\rm{s}}\) ein Schallsignal zum Erdboden. Dieses Signal kann im \(t\)-\(h\)-Diagramm als Gerade (rot) mit der Steigung \(330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) dargestellt werden. Das Signal wird zum Zeitpunkt \(t_2\) am Erdboden reflektiert, läuft mit der Geschwindigkeit \(-330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) zu Daniela zurück und kommt bei Daniela zum Zeitpunkt \({t_4} = 3,30{\rm{s}}\) an (Hinweis: der Geschwindigkeit des Schallsignals entspricht jeweils die Steigung im \(t\)-\(h\)-Diagramm).
Um den Reflexionsort des 1. Signals zu erhalten, zeichnet man nun noch eine Gerade (rot) die vom Punkt \(\left( {3,30{\rm{s}}|0m} \right)\) ausgeht und eine Steigung von \(-330\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) hat. Der Schnittpunkt \({{\rm{R}}_{\rm{2}}}\) der beiden roten Geraden gibt den Zeitpunkt der Reflexion und die Entfernung der Erde zu Daniela zu diesem Zeitpunkt an.
Analog geht man beim zweiten Signal vor (blau), das zum Zeitpunkt \({t_1} = 1,00{\rm{s}}\) von Daniela ausgesandt wird, zum Zeitpunkt \(t_3\) am Erdboden reflektiert wird und bei ihr zum Zeitpunkt \({t_5} = 4,05{\rm{s}}\) wieder ankommt.
Von Daniela aus betrachtet befindet sich die Erde zum Zeitpunkt \(t_2\) in einer Entfernung \(h_2\). Zum Zeitpunkt \(t_3\) ist die Erde von Daniela aus betrachtet in der kleineren Entfernung \(h_3\). Will man wissen, wie schnell sich die Erde auf Daniela zubewegt, so braucht man nur die Steigung der Geraden durch \({{\rm{R}}_{\rm{2}}}\) und \({{\rm{R}}_{\rm{3}}}\) (grüne Gerade) bestimmen. Hier ermittelt man zeichnerisch einen Wert von ungefähr \({\rm{47}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
Die grüne Gerade schneidet die \(h\)-Achse etwa beim Punkt \(\left( {0{\rm{s}}|620m} \right)\). Dies heißt, dass die Erde beim Absenden des ersten Signals etwa \({620m}\) von Daniela entfernt war.
