Die hydraulische Hebebühne ist ein Kraftwandler, um besonders schwere Lasten heben zu können. Sie wird in fast jeder Autowerkstatt verwendet.
Bei einer Hebebühne hat der Druckkolben einen Durchmesser von \(d_1 = 100\,\rm{mm}\) und der Arbeitskolben einen Durchmesser von \(d_2 = 500\,\rm{mm}\).
a)
Berechne den Betrag \(F_1\) der Kraft, die notwendig ist, um eine Last von \(2{,}00\) Tonnen anzuheben.
b)
Berechne die Länge \(s_1\) der Strecke, die der Druckkolben zurücklegen muss, damit sich der Arbeitskolben um \(2{,}00\,\rm{m}\) hebt.
Zuerst berechnen wir die Flächeninhalte der Flächen von Druckkolben und Arbeitskolben. Mit \(A = \pi \cdot {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2}\) erhalten wir nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[{A_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{{100 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 7{,}85 \cdot {10^{ - 3}}\,{{\rm{m}}^2}\]bzw.\[{A_2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{500 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 1{,}96 \cdot {10^{-1}}\,{{\rm{m}}^2}\]Da der Druck in der gesamten Hydraulikflüssigkeit gleich sein muss, gilt\[p_1 = p_2 \Leftrightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\]Auflösen nach \(F_1\) ergibt\[F_1=\frac{A_1}{A_2} \cdot F_2\]und Einsetzen der gegebenen Werte mit \(F_2=2000\,\rm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}=1{,}96 \cdot 10^4\,\rm{N}\) ergibt\[{F_1} = \frac{{7{,}85 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{1{,}96 \cdot {{10}^{-1}}\,{{\rm{m}}^2}}} \cdot 1{,}96 \cdot {10^4}\,{\rm{N}} = 785\,{\rm{N}}\]
b)
Die beim Anheben verrichtete Arbeit beträgt\[{W_1} = {W_2} \Leftrightarrow {F_1} \cdot {s_1} = {F_2} \cdot {s_2}\]Auflösen nach \(s_1\) liefert\[{s_1} = \frac{{{F_2}}}{{{F_1}}} \cdot {s_2}\]Einsetzen der gegebenen Werte ergibt\[{s_1} = \frac{{1{,}96 \cdot {{10}^4}\,{\rm{N}}}}{{785\,{\rm{N}}}} \cdot 2{,}00\,{\rm{m}} = 49{,}9\,{\rm{m}}\]Der Druckkolben kann natürlich nicht um fast \(50\,\rm{m}\) bewegt werden. Deswegen muss hier ein spezielles Pumpsystem mit Ventilen verwendet werden.