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Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Prinzip einer hydraulischen Hebebühne
Die hydraulische Hebebühne ist ein Kraftwandler, um besonders schwere Lasten heben zu können. Sie wird in fast jeder Autowerkstatt verwendet.
Bei einer Hebebühne hat der Druckkolben einen Durchmesser von \(d_1 = 100\,\rm{mm}\) und der Arbeitskolben einen Durchmesser von \(d_2 = 500\,\rm{mm}\).
a)
Berechne den Betrag \(F_1\) der Kraft, die notwendig ist, um eine Last von \(2{,}00\) Tonnen anzuheben.
b)
Berechne die Länge \(s_1\) der Strecke, die der Druckkolben zurücklegen muss, damit sich der Arbeitskolben um \(2{,}00\,\rm{m}\) hebt.
Zuerst berechnen wir die Flächeninhalte der Flächen von Druckkolben und Arbeitskolben. Mit \(A = \pi \cdot {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2}\) erhalten wir nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[{A_1} = \pi \cdot {\left( {\frac{{100 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 7{,}85 \cdot {10^{ - 3}}\,{{\rm{m}}^2}\]bzw.\[{A_2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{500 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 1{,}96 \cdot {10^{-1}}\,{{\rm{m}}^2}\]Da der Druck in der gesamten Hydraulikflüssigkeit gleich sein muss, gilt\[p_1 = p_2 \Leftrightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\]Auflösen nach \(F_1\) ergibt\[F_1=\frac{A_1}{A_2} \cdot F_2\]und Einsetzen der gegebenen Werte mit \(F_2=2000\,\rm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}=1{,}96 \cdot 10^4\,\rm{N}\) ergibt\[{F_1} = \frac{{7{,}85 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{1{,}96 \cdot {{10}^{-1}}\,{{\rm{m}}^2}}} \cdot 1{,}96 \cdot {10^4}\,{\rm{N}} = 785\,{\rm{N}}\]
b)
Die beim Anheben verrichtete Arbeit beträgt\[{W_1} = {W_2} \Leftrightarrow {F_1} \cdot {s_1} = {F_2} \cdot {s_2}\]Auflösen nach \(s_1\) liefert\[{s_1} = \frac{{{F_2}}}{{{F_1}}} \cdot {s_2}\]Einsetzen der gegebenen Werte ergibt\[{s_1} = \frac{{1{,}96 \cdot {{10}^4}\,{\rm{N}}}}{{785\,{\rm{N}}}} \cdot 2{,}00\,{\rm{m}} = 49{,}9\,{\rm{m}}\]Der Druckkolben kann natürlich nicht um fast \(50\,\rm{m}\) bewegt werden. Deswegen muss hier ein spezielles Pumpsystem mit Ventilen verwendet werden.
