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Grundwissen

Drehmoment

Dreht man eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel an, so benötigt man eine Kraft, die über den Hebelarm des Schraubenschlüsselgriffs ansetzt. Je weiter außen am Schraubenschlüssel man angreift umso geringer muss die Kraft zum Festziehen der Schraube sein. Auch ein möglichst senkrechtes Ansetzen der Kraft am Schraubenschlüssel reduziert den Kraftaufwand. Die Kraft \(\vec F\) hat eine Richtung und ist deshalb ein Vektor. Auch die Entfernung des Kraft-Ansatzpunktes A von der Drehachse D ist ein Vektor \(\vec r\). Will man die Größe des Drehmoments M ohne Verwendung von Vektoren berechnen, so nutzt man den Abstand \(a\) des Drehpunkts von der Wirkungslinie der Kraft und multipliziert ihn mit dem Kraftbetrag \(F\); es gilt
\[M = a \cdot F\]
Diesen Abstand \(a\) kann man mittels der trigonometrischen Beziehung \(a = r \cdot \sin \left( \alpha  \right) \) aus dem Radiusvektor \(\vec r\) (Entfernung Kraft-Ansatzpunkt zum Drehpunkt) und der Winkelweite \(\alpha \) des Winkels zwischen Kraftvektor \(\vec F\) und Radiusvektor \(\vec r\) ohne weitere Verwendung des Vektorbegriff berechnen, so dass gilt
\[M = r \cdot F \cdot \sin \left(  \alpha  \right) \]

Hinweis: In der Abbildung rechts ist die Winkelweite \(\alpha \) größer als \({90^\circ }\). Deshalb ergibt die Berechnung der Streckenlänge \(a\) hier eigentlich \(a = r \cdot \sin \left( 180^\circ - \alpha  \right) \). Da aber stets \(\sin \left( {180^\circ  - \alpha } \right) = \sin \left( \alpha  \right)\) gilt, führt auch hier die oben angegebene Berechnungsmethode \(a = r \cdot \sin \left( \alpha  \right) \) zum richtigen Ergebnis.

Was allerdings bei dieser Berechnung angenommen wird, ist die Kenntnis der Achsenrichtung und die Orientierung des Drehmoments als rechtsdrehend oder linksdrehend. Das Drehmoment ist also, da es eine Richtung und eine Orientierung hat ebenfalls ein Vektor. Die Berechnung dieses Vektors geht am einfachsten über das sogenannte Vektorprodukt (Kreuzprodukt):
\[\vec M = \vec r \times \vec F \]
Dabei steht der Drehmomentvektor \(\vec M \) senkrecht auf der durch die Vektoren \(\vec r \) und \(\vec F \) aufgespannten Ebene und entspricht der Richtung der Drehachse. Die Orientierung des Vektors kann man mit der 3-Finger-Regel der rechten Hand bestimmen: Daumen in Richtung \(\vec r \) , Zeigefinger in Richtung \(\vec F \) ergibt Mittelfinger in Richtung \(\vec M \).

Man kann sie aber auch mit Hilfe der Faustregel der rechten Hand herausbekommen: Zeigen die Finger der rechten Hand die Richtung an in der sich der Körper drehen würde, so zeigt der Daumen die Orientierung des Drehmomentvektors an (siehe Skizze). Die Größe dieses Vektors ist \(M = r \cdot F \cdot \sin \left(180° - \alpha  \right)\).

Ein solches Drehmoment kann auch durch eine Spiralfeder erzeugt werden, wie hier durch die Rückholfeder eines Stahlmaßbandes.