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Aufgabe

Leiterschleife im Magnetfeld

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Ein sehr langer gerader Leiter wird von dem Strom der Stärke \(I_1=7{,}5\,\rm{A}\) durchflossen. Mit diesem Leiter in einer Ebene liegt eine rechteckige Leiterschleife, sie wird von dem Strom der Stärke \(I_2=5{,}0\,\rm{A}\) durchflossen. Die Stromrichtungen und die Abmessungen sind Abb. 1 zu entnehmen.

Berechne den Betrag der resultierenden Kraft, die auf die gesamte Leiterschleife wirkt.

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Mit der ersten Rechte-Hand-Regel und der Drei-Finger-Regel der rechten Hand ermitteln wir, dass das obere horizontale Leiterstück eine abstoßende Kraft und das untere horizontale Leiterstück eine anziehende Kraft erfährt. Die beiden vertikalen Leiterstücke rechts und links erfahren gleichgroße, entgegengesetzt gerichtete Kräfte, die sich gegenseitig aufheben.

Im ersten Schritt berechnen wir die magnetischen Feldstärken, die aufgrund des Stroms der Stärke \(I_1\) an den horizontalen Leiterstücken herrscht. Mit \(I_1=7{,}5\,{\rm{A}}\), \(r_{\rm{o}}=88\,{\rm{cm}}=0{,}88\,{\rm{m}}\) und \(r_{\rm{u}}=1{,}75\,{\rm{m}}\) ergibt die Formel für die magnetische Feldstärke eines geraden und sehr langen Leiters\[B = {\mu _0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot r}} \cdot I\]nach dem Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte\[B_{\rm{o}} = 1{,}26 \cdot 10^{-6}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot 0{,}88{\rm{m}}}} \cdot 7{,}5\,\rm{A} = 1{,}7 \cdot 10^{-6}\,{\rm{T}}\]\[B_{\rm{u}} = 1{,}26 \cdot 10^{-6}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot 1{,}75{\rm{m}}}} \cdot 7{,}5\,\rm{A} = 8{,}6 \cdot 10^{-7}\,{\rm{T}}\]

Im zweiten Schritt berechnen wir die Beträge der magnetischen Kräfte, die auf die Ströme der Stärke \(I_2\) in den beiden Leiterstücken aufgrund dieser magnetischen Feldstärken wirkt. Mit \(I_2=5{,}0\,{\rm{A}}\), \(l=2{,}5\,{\rm{m}}\) und \(\varphi = 90^\circ\) ergibt die Formel für die magnetische Kraft auf ein Leiterstück\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi \right)\]nach dem Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte\[{F_{{\rm{mag,o}}}} = 5{,}0\,{\rm{A}} \cdot 2{,}5\,{\rm{m}} \cdot 1{,}7 \cdot 10^{-6}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {90^\circ } \right) = 2{,}1 \cdot 10^{-5}\,{\rm{N}}\]\[{F_{{\rm{mag,u}}}} = 5{,}0\,{\rm{A}} \cdot 2{,}5\,{\rm{m}} \cdot 8{,}6 \cdot 10^{-7}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {90^\circ } \right) = 1{,}1\cdot 10^{-5}\,{\rm{N}}\]Die resultierende Kraft ist somit abstoßend, ihr Betrag berechnet sich zu\[{F_{{\rm{mag,res}}}} = 2{,}1 \cdot {10^{-5}}\,{\rm{N}} - 1{,}1 \cdot {10^{-5}}\,{\rm{N}} = 1{,}0 \cdot {10^{-5}}\,{\rm{N}}\]