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Aufgabe

Drehspule als Strommesser

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In einer langen Feldspule S1 mit der Windungszahl \(N_1=240\) und der Länge \(l_1=0{,}60\,\rm{m}\) wird ein homogenes Magnetfeld erzeugt. Im Inneren der Feldspule S1 befindet sich eine Drehspule S2.

Die Drehspule besitzt einen quadratischen Querschnitt der Kantenlänge \(a=5{,}0\,\rm{cm}\) und \(N_2=100\) Windungen. Sie ist an einer Torsionsdrehwaage befestigt. Der Torsionsdraht erzeugt bei einer Verdrehung um einen Winkel der Weite \(1{,}0^\circ\) ein rücktreibendes Drehmoment von \(5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{N}\,\rm{m}\), d.h. \(D=\frac{5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{N}\,\rm{m}}{1,0^\circ}\). Die Versuchsanordnung soll nun als Strommesser für den Drehspulenstrom \(I_{\rm{S}}\) verwendet werden, wobei durch die Feldspule der konstante Strom \(I_{\rm{err}}=1{,}0\,\rm{A}\) fließt. Bei Stromfluss durch die Drehspule wird diese um einen Winkel der Weite \(\alpha\) ausgelenkt.

a)Zeichne in eine Skizze die für die Auslenkung der Drehspule wirksamen magnetischen Kräfte \(\vec F_{\rm{mag}}\) ein.

Gib eine kurze Begründung.

b)Zeige, dass zwischen der Drehspulenstromstärke \(I_{\rm{S}}\) und der Winkelweite \(\alpha\) der folgende Zusammenhang gilt:\[I_{\rm{S}} = {k_1} \cdot \frac{\alpha }{{\cos \left( \alpha  \right)}}\]

c)Berechne die Konstante \(k_1\).

d)Berechne, wie groß die Stromstärke \(I_{\rm{S}}\) jeweils sein muss, damit sich die Winkelweiten \(0^\circ\), \(10^\circ\), \(20^\circ\) und \(30^\circ\) einstellen.

e)Zeichne für diese Werte ein \(\alpha\)-\(I_{\rm{S}}\)-Diagramm (\(0{,}5\,{\rm{A}} \buildrel \wedge \over = 1\,{\rm{cm}}\); \(10^\circ  \buildrel \wedge \over = 1\,{\rm{cm}}\))

Für einen weiteren Versuch werden Feldspule S1 und Drehspule S2 in Reihe geschaltet. Durch beide Spulen fließt jetzt ein Strom der Stärke \(I_2\). Die sonstige Anordnung bleibt unverändert.

f)Leite für diesen Fall eine allgemeine Beziehung für die Stromstärke \(I_2\) in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\) her.

g)Berechne, wie groß die Stromstärke \(I_2\) jetzt jeweils sein muss, damit sich die Winkelweiten \(0^\circ\), \(10^\circ\), \(20^\circ\) und \(30^\circ\) einstellen.

h)Zeichne die berechneten Werte in das \(\alpha\)-\(I_{\rm{S}}\)-Diagramm von Teilaufgabe a) ein.

i)Vergleiche qualitativ die Empfindlichkeit \(\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta I}}\) der beiden Anordnungen.

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a)Die Richtung der magnetischen Kraft kann mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand bestimmt werden.

b)Bei der Berechnung des Drehmomentes hat man die Kraft Fm mit dem Abstand des Drehpunkts D von Wirkungslinie der Kraft a/2·cosα zu multiplizieren: Für das gesamte Drehmoment M gilt dann (es sind zwei Kräfte zu berücksichtigen):\[M = 2 \cdot {F_m} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\quad (1)\]Für Fm kann man schreiben:\[{F_m} = B \cdot {I_s} \cdot {N_2} \cdot a\quad (2)\]Setzt man (2) in (1), so erhält man\[M = B \cdot {I_s} \cdot {N_2} \cdot {a^2} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\quad (3)\]Berechnung der Flussdichte B der Feldspule:\[B = {\mu _0} \cdot {N_1} \cdot \frac{{{I_{err}}}}{{{l_1}}}\quad (4)\]Setzt man (4) in (3), so erhält man\[M = {\mu _0} \cdot {N_1} \cdot \frac{{{I_{err}}}}{{{l_1}}} \cdot {I_s} \cdot {N_2} \cdot {a^2} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\quad (5)\]Im Gleichgewicht ist das durch den Strom bedingte Drehmoment M gleich dem rücktreibenden Moment des Torsionsdrahtes Mrück:\[\begin{array}{l}M = {M_{\text{rück}}} \Leftrightarrow {\mu _0} \cdot {N_1} \cdot \frac{{{I_{err}}}}{{{l_1}}} \cdot {I_s} \cdot {N_2} \cdot {a^2} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = D \cdot \alpha \\ \Leftrightarrow {I_s} = \frac{{D \cdot {l_1}}}{{{\mu _0} \cdot {N_1} \cdot {N_2} \cdot {I_{err}} \cdot {a^2}}} \cdot \frac{\alpha }{{\cos \left( \alpha  \right)}}\\ \Rightarrow {I_s} = {k_1} \cdot \frac{\alpha }{{\cos \left( \alpha  \right)}}\quad {\rm{mit}}\quad {k_1} = \frac{{D \cdot {l_1}}}{{{\mu _0} \cdot {N_1} \cdot {N_2} \cdot {I_{err}} \cdot {a^2}}}\end{array}\]

c)Berechnung von k1:\[{k_1} = \frac{{5,0 \cdot 1{0^{ - 6}} \cdot 0,60}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot 240 \cdot 100 \cdot 1,0 \cdot 25 \cdot 1{0^{ - 4}}}}\frac{{\rm{A}}}{{{\rm{1^\circ }}}} \approx 4,0 \cdot {10^{ - 2}}\frac{{\rm{A}}}{{{\rm{1^\circ }}}}\]

d) 

α
10°
20°
30°
Is in A
0,0
0,41
0,85
1,38
 

e) 

f)Die Herleitung läuft analog zu Teilaufgabe a) α) nur gilt jetzt: Ierr = Is = I2:\[M = {\mu _0} \cdot {N_1} \cdot \frac{{I_2^2}}{{{l_1}}} \cdot {N_2} \cdot {a^2} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]Im Gleichgewicht ist das durch den Strom bedingte Drehmoment M gleich dem rücktreibenden Moment des Torsionsdrahtes Mrück:\[\begin{array}{l}M = {M_{\text{rück}}} \Leftrightarrow {\mu _0} \cdot {N_1} \cdot \frac{{I_2^2}}{{{l_1}}} \cdot {N_2} \cdot {a^2} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = D \cdot \alpha \\ \Rightarrow {I_2} = \sqrt {\frac{{D \cdot {l_1}}}{{{\mu _0} \cdot {N_1} \cdot {N_2} \cdot {a^2}}}}  \cdot \sqrt {\frac{\alpha }{{\cos \alpha }}} \\\, \Rightarrow {I_2} = \sqrt {{k_2}}  \cdot \sqrt {\frac{\alpha }{{\cos \alpha }}} \quad {\rm{mit}}\quad {k_2} = \frac{{D \cdot {l_1}}}{{{\mu _0} \cdot {N_1} \cdot {N_2} \cdot {a^2}}}\\ \Rightarrow {k_2} = \frac{{5,0 \cdot 1{0^{ - 6}} \cdot 0,60}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot 240 \cdot 100 \cdot 25 \cdot 1{0^{ - 4}}}}\frac{{{{\rm{A}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1^\circ }}}} \approx 4,0\frac{{{{\rm{A}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1^\circ }}}}\end{array}\]

g) 

α
10°
20°
30°
Is in A
0,0
0,63
0,92
1,17

h)Siehe a)

 

i)Das Instrument ist umso empfindlicher, je größer die Winkeländerung bei einer bestimmten Stromänderung ist, d.h. je größer \(\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta I}}\) ist. Dreht man die Grafik von a), so stellt \(\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta I}}\) die Steigung in diesem Diagramm dar.

Aus dem Diagramm kann man entnehmen, das für Ströme von unter \(0{,}5\rm{A}\) die erste Anordnung empfindlicher ist als die zweite. Bei Strömen größer als \(0{,}5\rm{A}\) wird die zweite Anordnung empfindlicher.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ströme & magnetisches Feld