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Aufgabe

Bestimmung der LORENTZ-Kraft - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um die Berechnung der LORENTZ-Kraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{{\rm{L}}}} = q \cdot v \cdot  B \cdot \sin \left( \varphi \right)\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{F_{\rm{L}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = \color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{q}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{q}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{q}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{v}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{v}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{v}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{B}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{B}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{B}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{\varphi}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red}\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\).\[{{\sin(\color{Red} \varphi)}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}\]
Damit ergibt sich die gesuchte Winkelweite \(\color{Red}{{\varphi}}\) zu\[\color{Red}{{\varphi}} = \arcsin \left( {\frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}} \right)\]
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der LORENTZ-Kraft nach den fünf in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Elektron fliegt mit der Geschwindigkeit \(1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) durch ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Feldstärke \(1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\rm{T}\). Die Weite des von dem Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der magnetischen Feldstärke eingeschlossenen Winkels beträgt \(35^\circ\).

Berechne den Betrag der auf das Elektron wirkenden LORENTZ-Kraft.

b)

Ein geladenes Teilchen tritt mit der Geschwindigkeit \(1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Feldstärke \(10\,{\rm{mT}}\) ein und erfährt eine Kraft vom Betrag \(3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Ladung des Teilchens.

c)

In ein Magnetfeld von \(2{,}40\,\rm{mT}\) tritt ein Proton unter einem Winkel der Weite \(45{,}0^\circ\) ein und erfährt eine Kraft von \(7{,}30\,\cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Geschwindigkeit des Protons.

d)

Ein dreifach ionisiertes Atom tritt mit der Geschwindigkeit \(2{,}73 \cdot 10^{6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) senkrecht in ein Magnetfeld ein und erfährt eine Kraft von \(8{,}61 \cdot 10^{-15}\,\rm{N}\).

Berechne den Betrag der magnetischen Feldstärke.

e)

Ein Elektron fliegt durch ein Magnetfeld. Das Magnetfeld hat am Ort des Elektrons die magnetische Feldstärke \(2{,}15 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}\), das Elektron hat die Geschwindigkeit \(4{,}22 \cdot 10^6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Auf das Elektron wirkt die LORENTZ-Kraft vom Betrag \(1{,}26 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Weite des von dem Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der magnetischen Feldstärke eingeschlossenen Winkels.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(q=e=1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(v=1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), \(B=1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\rm{T}\) und \(\varphi =35^\circ\) nutzen wir die Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{L}}} = 1{,}6 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{C}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot B = 1{,}2 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {35^\circ } \right) = 1{,}1 \cdot {10^{ - 16}}\,{\rm{N}}\]

b)

Mit \(F_{\rm{L}}=3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(v=1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), \(B=10\,{\rm{mT}}=10\cdot10^{-3}\,\rm{T}\) und \(\varphi =90^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow q = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[q = \frac{{3{,}2 \cdot {{10}^{ - 16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 10 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {90^\circ } \right)}} = 3{,}2 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{C}}=2 \cdot e\]

c)

Mit \(F_{\rm{L}}=7{,}30\,\cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(q=e=1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(B=2{,}40\,\rm{mT}=2{,}40\cdot 10^{-3}\,\rm{T}\) und \(\varphi =45{,}0^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow v = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \frac{{7{,}30\cdot {{10}^{-16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{C}} \cdot 2{,}40 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {45{,}0^\circ } \right)}} = 2{,}26 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

d)

Mit \(F_{\rm{L}}=8{,}61 \cdot 10^{-15}\,\rm{N}\), \(q=3 \cdot e=4{,}81 \cdot {10^{-19}}\,{\rm{C}}\), \(v=2{,}73 \cdot 10^{6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\varphi =90{,}0^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow B = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{8{,}61 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}}}}{{4{,}81 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{C}} \cdot 2{,}73 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {90{,}0^\circ } \right)}} = 6{,}56 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{T}} = 6{,}56\,{\rm{mT}}\]

e)

Mit \(F_{\rm{L}}=1{,}26 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(q=e=1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(v=4{,}22 \cdot 10^6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(B=2{,}15 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Rightarrow \varphi  = \arcsin \left( {\frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot v \cdot B}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\varphi  = \arcsin \left( {\frac{{1{,}26 \cdot {{10}^{ - 16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{C}} \cdot 4{,}22 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 2{,}15 \cdot {{10}^{-4}}\,{\rm{T}}}}} \right) = 60{,}2^\circ \]oder \(\varphi = 180{,}0^\circ-60{,}2^\circ=119{,}8^\circ \).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ströme & magnetisches Feld