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Grundwissen

Bestimmung der LORENTZ-Kraft

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Herrscht an einem Punkt ein magnetisches Feld \(\vec B\) mit bekannter Richtung, Orientierung und bekanntem Betrag \(B\) und bewegt sich an diesem Punkt ein Teilchen mit der Ladung \(q\) und der Geschwindigkeit \(\vec v\), dann kann man ...
  • ... die Richtung und die Orientierung der LORENTZ-Kraft \(\vec F_{\rm{L}}\) auf das Teilchen mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (Daumen in Bewegungsrichtung eines positiv geladenen Teilchens, Zeigefinger in Magnetfeldrichtung → Mittelfinger in Kraftrichtung) und ...
  • ... den Betrag \(F_{\rm{L}}\) der LORENTZ-Kraft auf das Teilchen mit der Formel \({F_{{\rm{L}}}} = q \cdot v \cdot  B \cdot \sin \left( \varphi \right)\) bestimmen, wobei \(\varphi\) die Weite des Winkels zwischen \(\vec B\) und \(\vec v\) ist.
Aufgaben Aufgaben
Bestimmung der LORENTZ-Kraft auf ein geladenes Teilchen
Abb. 1 Drei-Finger-Regel der rechten Hand: zeigt der Daumen in die Bewegungsrichtung eines positiv geladenen Teilchens und der Zeigefinger in Magnetfeldrichtung, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der LORENTZ-Kraft. Daumen und Zeigefinger bilden dabei einen Winkel der Weite \(\varphi\)

Herrscht an einem Punkt ein magnetisches Feld \(\vec B\) mit bekannter Richtung, Orientierung und bekanntem Betrag \(B\) und bewegt sich an diesem Punkt ein Teilchen mit der Ladung \(q\) und der Geschwindigkeit \(\vec v\), dann kann man ...

  • ... die Richtung und die Orientierung der LORENTZ-Kraft \(\vec F_{\rm{L}}\) auf das Teilchen mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (vgl. Abb. 1) bestimmen: Zeigt der Daumen in die Bewegungsrichtung eines positiv geladenen Teilchens und der Zeigefinger in Magnetfeldrichtung, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der LORENTZ-Kraft. Die Weite des Winkels zwischen Daumen und Zeigefinger bezeichnen wir dabei mit \(\varphi\).

    Hinweis: Ist das Teilchen nicht positiv, sondern negativ geladen, dann zeigt die LORENTZ-Kraft in die entgegengesetzte Richtung des Daumens. Nimmt man statt der rechten die linke Hand, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der LORENTZ-Kraft auf ein negativ geladenes Teilchen.

  • ... den Betrag \(F_{\rm{L}}\) der LORENTZ-Kraft auf das Teilchen mit der Formel\[{F_{{\rm{L}}}} = q \cdot v \cdot  B \cdot \sin \left( \varphi \right)\]bestimmen. Dabei ist \(\varphi\) die oben erklärte Winkelweite.

Hinweis

In vielen Büchern oder auch im Internet wird die Drei-Finger-Regel oft als "UVW-Regel" bezeichnet. Dabei steht der Buchstabe "U" für "Ursache" und meint damit die Bewegung des geladenen Teilchens mit der Geschwindigkeit  \(\vec v\) als Ursache der LORENTZ-Kraft. Dies ist nicht nur fachlich falsch, sondern leider auch für viele Schülerinnen und Schüler verwirrend, weil sie das Magnetfeld als Ursache der LORENTZ-Kraft auf das geladene Teilchen sehen. Wir vermeiden deshalb die "UVW"- Bezeichnung.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben rund um die Berechnung der magnetischen Kraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{{\rm{L}}}} = q \cdot v \cdot  B \cdot \sin \left( \varphi \right)\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{F_{\rm{L}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = \color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{q}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\color{Red}{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{q}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{q}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{v}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{q}} \cdot \color{Red}{{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{v}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{v}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{B}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{q}} \cdot {{v}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{B}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{B}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{L}}}} = {{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{\varphi}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red}\varphi)}} = {{F_{\rm{L}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}\).\[{{\sin(\color{Red} \varphi)}} = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}\]
Damit ergibt sich die gesuchte Winkelweite \(\color{Red}{{\varphi}}\) zu\[\color{Red}{{\varphi}} = \arcsin \left( {\frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{q}} \cdot {{v}} \cdot {{B}}}} \right)\]
Abb. 2 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der LORENTZ-Kraft nach den fünf in der Formel auftretenden Größen

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