Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Schwingende Ladung (Abitur SL 1996 LK A1-3.1-3.4)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Die beiden punktförmigen Ladungen an den Orten A und B sind ortsfest und haben den gleichen positiven Wert \(Q\). In der Mitte der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}} \) befindet sich die punktförmige negative Ladung \(q\). Durch eine Störung wird die Ladung \(q\) senkrecht zu \(\overline {{\rm{AB}}} \) in \(x\)-Richtung ausgelenkt und beginnt daher um die Ruhelage zu schwingen.

a)

Zeige , dass für die Rückstellkraft \(\vec F\) gilt:\[F(x) = - \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{x}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{{\textstyle{3 \over 2}}}}}}\]

b)

Zeige, dass für kleine Auslenkung \({\left| x \right| \ll a}\) die Rückstellkraft entgegengesetzt proportional zur Auslenkung \(x\) ist mit dem Proportionalitätsfaktor\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]

c)

Bestimme die Maßeinheit von \(D\).

d)

Nun soll der schwingende Körper, der die Ladung \(q\) trägt, ein Elektron sein und sich in den Punkten A und B jeweils die positive Elementarladung \(e\) befinden. Die Länge der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}}\) ist \(2 \cdot a = 0{,}2\,\rm{nm}\).

Berechne mit der Federhärte \(D\) die Schwingungsdauer des Elektrons.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des saarländischen Kultusministeriums.

a)
Abb. 2 Skizze zur Lösung

Berechnung der COULOMB-Kraft, die von der Ladung bei A auf die Probeladung \(q\) ausgeübt wird:\[{F_{{\rm{schräg}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}}\]Berechnung des Betrages der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Komponente von \({\vec F_{{\rm{schräg}}}}\):Zum einen gilt\[\cos \left( \alpha  \right) = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Damit ergibt sich nun\[{F_{{\rm{senkrecht}}}} = {F_{{\rm{schräg}}}} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Da die Ladung bei B eine gleich große Kraft in horizonaler Richtung bewirkt, ist die gesamte Kraft in der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Richtung\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x\]

b)

Für den Nenner im zweiten Bruch des Ergebnisses von Teilaufgabe a) kann man schreiben\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {\left[ {{a^2} \cdot \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \right]^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {a^3} \cdot {\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}}\]Wenn \(\left| x \right| \ll a\) ist, dann ist \({\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}}\approx 0\). Damit ergibt sich\[{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \approx {\left( {1 + 0} \right)^{\frac{3}{2}}} = {1^{\frac{3}{2}}} = 1\]Somit gilt\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} \approx {a^3}\]Insgesamt lässt sich nach für die zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrecht wirkende Gesamtkraft näherungsweise schreiben\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^3}}} \cdot x\]Es liegt somit ein lineares Kraftgesetz \({F_{\rm{senkrecht,ges}}} = - D \cdot x\) vor, bei dem die Richtgröße \(D\) den folgenden Wert hat:\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]

c)

Für die Einheit von D ergibt sich\[\left[ D \right] = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\; = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{J}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

d)

Für die Schwingungsdauer eines - ähnlich wie die Masse bei einem Federpendel -  schwingenden Elektrons der Masse  \(m_{\rm{e}}\) gilt\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{{m_{\rm{e}}}}}{D}} \quad(1)\]Für \(D\) gilt\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}} \Rightarrow D = \frac{{{{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}} \cdot {{\left( {0{,}1 \cdot {{10}^{-9}}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 4{,}6 \cdot {10^2}\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]Setzt man dieses Ergebnis in \((1)\) ein, so erhält man\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{9{,}1 \cdot {{10}^{-31}}\,{\rm{kg}}}}{{4{,}6 \cdot {{10}^2}\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 2{,}8 \cdot {10^{-16}}\,{\rm{s}}\]