Ladungen & elektrisches Feld

a)Berechnung der Abstoßungskraft \(F_{\rm{el}}\):\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{\rm{el}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{el}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \tan \left( \alpha  \right) = m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{el}}} = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \tan \left( {8,0^\circ } \right) = 2,8 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{N}}\]

b)Berechnung der Ladungen mit Hilfe des Gesetzes von COULOMB:\[F_{\rm{el}} = {F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\quad(1)\]Daneben gilt\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \Leftrightarrow {Q_1} = {Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\quad(2)\]Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so folgt für \({{Q_2}}\)\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}} \Rightarrow {Q_2} = \sqrt {\frac{{{F_{\rm{C}}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2} \cdot {r_2}}}{{{r_1}}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{Q_2} = \sqrt {\frac{{2,8 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot {{\left( {0,166{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot 0,020{\rm{m}}}}{{0,12{\rm{m}}}}}  = 3,8 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}}\]Damit berechnet sich \({Q_1}\) zu
\[{Q_1} = {Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \Rightarrow {Q_1} = 3,78 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}} \cdot \frac{{12,0{\rm{cm}}}}{{2,0{\rm{cm}}}}{\mkern 1mu}  = 2,3 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{As}}\]