Die beiden punktförmigen Ladungen an den Orten A und B sind ortsfest und haben den gleichen positiven Wert \(Q\). In der Mitte der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}} \) befindet sich die punktförmige negative Ladung \(q\). Durch eine Störung wird die Ladung \(q\) senkrecht zu \(\overline {{\rm{AB}}} \) in \(x\)-Richtung ausgelenkt und beginnt daher um die Ruhelage zu schwingen.
a)
Zeige , dass für die Rückstellkraft \(\vec F\) gilt:\[F(x) = - \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{x}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{{\textstyle{3 \over 2}}}}}}\]
b)
Zeige, dass für kleine Auslenkung \({\left| x \right| \ll a}\) die Rückstellkraft entgegengesetzt proportional zur Auslenkung \(x\) ist mit dem Proportionalitätsfaktor\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]
c)
Bestimme die Maßeinheit von \(D\).
d)
Nun soll der schwingende Körper, der die Ladung \(q\) trägt, ein Elektron sein und sich in den Punkten A und B jeweils die positive Elementarladung \(e\) befinden. Die Länge der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}}\) ist \(2 \cdot a = 0{,}2\,\rm{nm}\).
Berechne mit der Federhärte \(D\) die Schwingungsdauer des Elektrons.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des saarländischen Kultusministeriums.
a)
Abb. 2 Skizze zur Lösung
Berechnung der COULOMB-Kraft, die von der Ladung bei A auf die Probeladung \(q\) ausgeübt wird:\[{F_{{\rm{schräg}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}}\]Berechnung des Betrages der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Komponente von \({\vec F_{{\rm{schräg}}}}\):Zum einen gilt\[\cos \left( \alpha \right) = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Damit ergibt sich nun\[{F_{{\rm{senkrecht}}}} = {F_{{\rm{schräg}}}} \cdot \cos \left( \alpha \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]Da die Ladung bei B eine gleich große Kraft in horizonaler Richtung bewirkt, ist die gesamte Kraft in der zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrechten Richtung\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x\]
b)
Für den Nenner im zweiten Bruch des Ergebnisses von Teilaufgabe a) kann man schreiben\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {\left[ {{a^2} \cdot \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \right]^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {a^3} \cdot {\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}}\]Wenn \(\left| x \right| \ll a\) ist, dann ist \({\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}}\approx 0\). Damit ergibt sich\[{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \approx {\left( {1 + 0} \right)^{\frac{3}{2}}} = {1^{\frac{3}{2}}} = 1\]Somit gilt\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} \approx {a^3}\]Insgesamt lässt sich nach für die zu \(\overline {{\rm{AB}}}\) senkrecht wirkende Gesamtkraft näherungsweise schreiben\[{F_{{\rm{senkrecht,ges}}}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^3}}} \cdot x\]Es liegt somit ein lineares Kraftgesetz \({F_{\rm{senkrecht,ges}}} = - D \cdot x\) vor, bei dem die Richtgröße \(D\) den folgenden Wert hat:\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]
