Bei Präzisionsmessungen der Elementarladung nach MILLIKAN lässt man ein geladenes Öltröpfchen zuerst bei eingeschaltetem Feld schweben und dann nach dem Ausschalten des Feldes fallen. Bei Dunkelfeldbeleuchtung wird im Mikroskop mit Okularmikrometer die Bewegung des Teilchens beobachtet. So kann die Fallgeschwindigkeit \(v\) bestimmt werden. Wegen der wirkenden Reibungskraft der Luft ist diese Geschwindigkeit nach einer zu vernachlässigenden Beschleunigungsphase konstant. Der Betrag dieser Reibungskraft ist \({F_R} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\). Dabei bedeutet \(\eta \) die "Zähigkeit des Mediums" (hier Luft), in dem sich die kugelförmig angenommenen Teilchen mit dem Radius \(r\) und der Geschwindigkeit \(v\) bewegen.
a)Erläutern Sie, welche Kräfte auf das Öltröpfchen während des Schwebens und während des Fallens wirken. Die Auftriebskraft auf die Öltröpfchen können Sie in den Teilaufgaben a) bis f) vernachlässigen.
b)Erläutern Sie, welche Aussage aus der Konstanz der Fallgeschwindigkeit über die Summe der dabei am Öltröpfchen angreifenden Kräfte folgt.
c)Stellen Sie die Kraftgleichungen für das Schweben und für die Fallbewegung des Öltröpfchens auf.
d)Lösen Sie die Kraftgleichungen für das Schweben nach \(q\) und die Kraftgleichung für die Fallbewegung nach \(r\) auf.
e)Leiten Sie durch Elimination des Tröpfchenradius \(r\) aus den Ergebnissen in Teilaufgabe d) den folgenden - nur aus Messgrößen bestehenden - Ausdruck für \(q\) her:\[q = \frac{{9 \cdot \sqrt {2 \cdot } \pi \cdot d}}{U}\sqrt {\frac{{{{\eta} ^3} \cdot {v}^3}}{{\rho \cdot g}}}\]
f)Im Experiment misst man bei \(d = 6,00 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \(\eta = 1,81 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) für ein Öltröpfchen die Werte \(U=84,0\rm{V}\) und \(v = 2,63 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
Berechnen Sie hiermit die Ladung des Öltröpfchens. Eine CUNNINGHAM-Korrektur ist dabei nicht erforderlich.
g)Erläutern Sie, wie sich das Ergebnis von Teilaufgabe e) ändert, wenn man den Auftrieb, den die Öltröpfchen in Luft erfahren, berücksichtigt.
a)Schweben: Auf das Tröpfchen wirken die Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G}}}}\) nach unten und die betraglich gleich große Elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) nach oben, so dass keine resultierende Kraft mehr wirkt und das Tröpfchen ruht bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert.
Fallen: Auf das Tröpfen wirkt zuerst nur die Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G}}}}\) nach unten, so dass das Tröpfchen nach unten beschleunigt wird. Durch die größer werdende Geschwindigkeit steigt nun die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R}}}}\) so lange an, bis sie betraglich gleich der Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G}}}}\) ist. Ab diesem Zeitpunkt wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}}\) weiter nach unten.
b)Aus der Konstanz der Fallgeschwindigkeit kann man folgern, dass die Summe aller auf das Tröpfchen wirkenden Kräfte genau Null ist, sich die Kräfte also gegenseitig aufheben.
c)Schweben: Die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho \): Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) ist betragsgleich der Elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}} = q \cdot \frac{U}{d}\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand):\[\begin{eqnarray} \left| F_{\rm{G}} \right| &=& \left| F_{\rm{el}} \right| \\ \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]
Fallen: Die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho \): Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)) ist betragsgleich der STOKESschen Reibungskraft \({F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v}\) (\(\eta \): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens beim Fallen):\[\begin{eqnarray}\left| F_{\rm{G}} \right| &=& \left| F_{\rm{R}} \right| \\ \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v} \quad(2)\end{eqnarray}\]
g)Da sich zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.
Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann, wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\]
Da \(\rho' < \rho\) wird so das Ergebnis für \(q\) größer, da der Nenner in der Wurzel kleiner wird. Der Fehler von etwa \(0,1\% \) ist jedoch nicht sehr groß, da die Dichte von Luft erheblich kleiner ist als die Dichte des Öls.
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