Aufgabe
Ein Kondensator der Kapazität \(C\) wird über einen Widerstand \(R\) entladen. Für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke \(I\) gilt dabei:
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\]
a)Erläutern Sie durch eine allgemeine Rechnung, dass sich bei logarithmischer Auftragung von \({I(t)/{I_0}}\) über \(t\) eine Gerade ergibt. (4 BE)
Bei einem Kondensator mit unbekannter Kapazität \(C\) wurden für \(R = 10{\rm{M\Omega }}\) folgende Messwerte aufgenommen:
| \(t\;{\rm{in\;s}}\) | 0 | 45 | 80 | 115 | 155 |
| \(I\;{\rm{in\;mA}}\) | 9,5 | 3,9 | 2,0 | 1,0 | 0,5 |
b)Zeichnen Sie das zugehörige \({t - \ln \left( {I(t)/{I_0}} \right)}\)-Diagramm.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Steigung einer Ausgleichsgeraden die Kondensatorkapazität \(C\). (9 BE)
Lösung
a)[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}} \Leftrightarrow \frac{{I(t)}}{{{I_0}}} = {e^{ - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\left| {\ln } \right. \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right) = - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t\]
Trägt man \({\ln \left( {I(t)/{I_0}} \right)}\) über \(t\) auf, so ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(m = - \;\frac{1}{{R \cdot C}}\).
| \(t\;{\rm{in\;s}}\) | 0 | 45 | 80 | 115 | 155 |
| \(I\;{\rm{in\;mA}}\) | 9,5 | 3,9 | 2,0 | 1,0 | 0,5 |
| \({\ln \left( {I/{I_0}} \right)}\) | 0 | -0,89 | -1,56 | -2,25 | -2,94 |
b)Für die Steigung \(m\) der Ausgleichsgeraden gilt\[m = \frac{{ - 2,9}}{{150{\rm{s}}}} = - 0,019\frac{1}{{\rm{s}}}\]Berechnung von \(C\):\[m = - \frac{1}{{R \cdot C}} \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{R \cdot m}} \Rightarrow C = - \frac{1}{{10 \cdot {{10}^6}{\rm{\Omega }} \cdot \left( { - 0,019\frac{1}{{\rm{s}}}} \right)}} = 5,3{\rm{\mu F}}\]
