Ladungen & Felder - Oberstufe

Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?
\(q_1\)
\(q_2\)
\(r\)

Beim Versuch zum Gesetz von COULOMB konnte die folgende Proportionalität für die Kraft F zwischen zwei Punktladungen \(q_1\) und \(q_2\) im Abstand \(r\) erarbeitet werden:\[F \sim \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\]Um aus der Proportionalität eine Gleichung zu machen, muss noch eine Proportionalitätskonstante eingeführt werden:\[F = C \cdot \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\]Es zeigt sich, dass die Proportionalitätskonstante \(C\) in der folgenden Form geschrieben werden kann:\[C = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}}\]Dabei ist \({{\varepsilon _0}}\) die Dielektrizitätskonstante für das Vakuum (elektrische Feldkonstante) mit dem Wert\[{\varepsilon _0} = 8,8542 \cdot {10^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}\]Somit lautet das Gesetz von COULOMB\[F = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\]

Wenn Sie erfahren wollen, warum die Proportionalitätskonstante C in der Form \(C = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}}\) geschrieben wird, so gehen Sie zum Ausblick..

Das Gesetz von Coulomb besitzt die gleiche Struktur wie das Gravitationsgesetz von Newton:

Gravitationsgesetz von Newton

Isaac NEWTON
(1643 - 1727)
von Sir Godfrey Kneller [Public domain],
via Wikimedia Commons

\[F = G \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\]

Coulomb-Gesetz

Charles Augustin de COULOMB
(1736 - 1806)
unbekannter Autor [Public domain],
via Wikimedia Commons

\[F = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\]

Hinweis: Aus dem Vergleich der beiden Gesetze resultiert die Bezeichnung "Gravitationsladung" für die Masse eines Körpers.

Vorversuch

Kondensatoren sind in der Lage elektrische Energie zu speichern. Der nebenstehend skizzierte Versuch zeigt dies auf einfache Weise:

  • Ein Kondensator der Kapazität \(C\) wird über einen Widerstand der Größe \(R\) auf die Spannung \(U\) aufgeladen.

  • Die Entladung des Kondensators erfolgt über eine Glimmlampe. Diese leuchtet beim Entladevorgang an der mit der negativen Kondensatorplatte verbundenen Elektrode auf ("negatives Glimmlicht"). Die innere Energie und die Lichtenergie, die in der Glimmlampe umgesetzt wird, muss aus dem Energieinhalt des Kondensators stammen.

Gedankenexperiment

In einem Gedankenexperiment soll nun geklärt werden, von welchen Größen die Energie, die in einem Kondensator bzw. dessen elektrischen Feld gespeichert ist, abhängt:

Dazu stellen wir uns einen geladenen Kondensator vor, welcher von der Stromquelle getrennt ist. Die Entladung des Kondensators soll schrittweise vorgenommen werden, indem solang gleiche positive Ladungsportionen \(\Delta Q\) von der positiven zur negativen Platte transportiert werden, bis der Kondensator entladen ist.

Aus der Beziehung \(C = \frac{Q}{U}\) folgt bei konstanter Kapazität die direkte Proportionalität von \(U\) und \(Q\):
\[U = \frac{Q}{C}\quad \Rightarrow \quad U \sim Q\]

Beim Transport der Ladung \(\Delta Q\) wird der Energieinhalt des Kondensators um einen bestimmten Betrag verringert und dabei an der Ladung \(\Delta Q\) die Arbeit \(\Delta W\) verrichtet. Nimmt die Ladung des Kondensators ab, so wird wegen \(U \sim Q\) auch die Spannung am Kondensator kleiner. Ist allerdings die transportierte Ladungsportion \(\Delta Q\) sehr klein, so kann man näherungsweise von einer konstanten Kondensatorspannung während des Transports ausgehen.

Für die an der Ladung verrichtete Arbeit gilt dann:
\[\Delta W \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]
Der Betrag dieser Arbeit \(\Delta W\) ist gleich dem Betrag der Abnahme der elektrischen Energie des Kondensators \(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\):
\[\left| {\Delta {E_{el}}} \right| \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]

Summiert man alle Teilbeträge\(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\) bei einer "portionsweisen Entladung des Kondensators auf, so erhält man den Energieinhalt des Kondensators nur näherungsweise, da bei dieser Vorgehensweise angenommen wurde, dass die Kondensatorspannung \({U_i}\) während des Transports der Probeladung von der positiven nur negativen Platte konstant bleibt:
\[{E_{el}} \approx \left| {\Delta {E_{el,1}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,i}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,n}}} \right|\]

Will man der Spannungsänderung während des Ladungstransport besser Rechnung tragen, so kann man die Breite \(\Delta Q\) der Rechtecke in nebenstehender Animation verkleinern. Bei sukzessiver Verkleinerung dieser Rechtecksbreite nähert sich die Gesamtfläche dieser Stufenfigur immer mehr der Dreiecksfläche unter der Ursprungsgeraden im \(Q\)-\(U\)-Diagramm. Für diese Fläche, welche nun den Energieinhalt des Kondensators exakt wiedergibt, gilt:

\[{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot U\;{\rm{mit}}\;\,Q = C \cdot U\;{\rm{folgt}}:\quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\]

 

Die Energie des Kondensators kann schließlich auch noch durch die elektrische Feldstärke \(E\) des Kondensatorfeldes (dem eigentlichen Träger der Energie) dargestellt werden.

\[\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\;\\\quad \quad {\rm{mit}}\;C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d}\;{\rm{und}}\;U = E \cdot d\;{\rm{folgt:}}\\{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {E \cdot d} \right)^2}\quad \Rightarrow \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot {E^2} \cdot V\end{array}\]

 

Hinweise:
\({E_{el}}\): Energieinhalt des Kondensators; \(\left[ {{E_{el}}} \right] = 1{\rm{J}}\) \(E\): Feldstärke im Kondensator; \(\left[ E \right] = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\) \(V\): Volumen des Kondensatorinneren; \(V = A \cdot d\)

Das elektrische Feld einer komplizierteren Ladungsanordnung kann z.B. durch Überlagerung der Felder von Einzelladungen gewonnen werden. Hierzu muss man in jedem Raumpunkt die Feldstärkevektoren der Einzelfelder vektoriell addieren.

Mit Hilfe der Simulationsprogramme können Sie Feldlinien- und Äquipotentiallinienbilder für sehr komplexe Ladungsanordnungen studieren.

 

Im linken Stromkreis befindet sich eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\), ein Umschalter \(S\), ein Widerstand der Größe \(R\) und ein Kondensator mit der Kapazität \(C\). Die technische Stromrichtung wird durch den Pfeil verdeutlicht. Der gestrichelte Teil des Stromkreises wird beim Einschalten des Kondensators noch nicht benötigt.

Durch Umlegen des Umschalters ("Einschalten") wird der Stromkreis geschlossen und damit der Kondensator aufgeladen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird.

Nach genügend langer Zeit ist der Kondensator aufgeladen und trägt die maximale Ladung \({Q_{\max }} = C \cdot \left|{U_0}\right|\). Die Stromrichtung, auf die sich im Folgenden die Darstellung von Stromstärke und Spannungen bezieht, soll nun die gleiche wie beim Einschalten sein, sie wird wieder durch den Pfeil verdeutlicht.

Der rechte Stromkreis unterscheidet sich von dem obigen dadurch, dass der Umschalter \(S\) nun umgelegt ist. Dadurch wird die zum Einschalten angeschlossene Elektrische Quelle im gestrichelten Teil des Stromkreises abgetrennt und dafür ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt ("Ausschalten"), so dass der Strom "zusammenbrechen" kann, wobei der Stromfluss wieder durch den Widerstand begrenzt wird.

Die folgende Animation zeigt den zeitlichen Verlauf von Ladung \({Q_C}(t)\) auf dem Kondensator, Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_C}(t)\) über dem Kondensator, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_C}(t)\) am Kondensator sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Kapazität \(C\) des Kondensators in gewissen Grenzen verändert werden.

R
L
|U0|
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2 Zeitliches Verhalten von Ladung auf dem Kondensator, Stromstärke, Spannungen über Kondensator und Widerstand sowie elektrischer Leistung von Kondensator und Widerstand beim Ein- und beim Ausschalten eines RC-Kreises

Einschalten von RC-Kreisen

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}} \cdot t}}} \right)\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 63% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

 

 

Die Stromstärke \(I\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(I\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Ausschalten von RC-Kreisen

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 37% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

 

 

Hinweis: Da der Strom im Stromkreis beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung fließt, ist die Stromstärke theoretisch negativ; dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| I \right|\) der Stromstärke im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) =  - {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Hinweis: Auch die Spannung, die über dem Widerstand abfällt, ist wegen der negativen Stromstärke theoretisch negativ; auch dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| U_R \right|\) der Spannung über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = - {\left| {{U_0}} \right|} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_R \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| U_R \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Rückblick: Bewegung im Gravitationsfeld

Bei der Bewegung eines Körpers der Masse \(m\) im Gravitationsfeld der Erde ändert sich in der Regel die potentielle Energie dieses Körpers. Um die Betrachtung möglichst einfach zu halten, gehen wir davon aus, dass sich die Gravitationskraft (= Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\)) längs des Weges nicht ändert, d.h. wir gehen von einem annähernd homogenen Gravitationsfeld (wie es näherungsweise in der Nähe der Erdoberfläche besteht) aus. Außerdem wollen wir annehmen, dass die kinetische Energie des betrachteten Körpers im Anfangspunkt A der Bewegung gleich der kinetischen Energie im Endpunkt B der Bewegung ist (d.h. \(\Delta {E_{{\rm{kin}}}}\)).

Aufgabe

Potentielle Energie im Gravitationsfeld

Berechne die Änderung der potentiellen Energie \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) in den beiden dargestellten Fällen in Abhängigkeit von den in der Skizze dargestellten Größen. Beachte auch das Vorzeichen von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) (Zunahme der potentiellen Energie: \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}>0\); Abnahme der potentiellen Energie: \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}<0\)).

Nimm an, dass die potentielle Energie auf dem Erdboden den Wert Null hat (freie Wahl des Nullpunkts der potentiellen Energie).

Lösung

Aus dem Mechanik-Unterricht ist bekannt, dass die potentielle Energie eines Körpers nach der Beziehung\[{E_{{\rm{pot}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot h\]zu berechnen ist. Dabei ist \(h\) die Höhe über dem vereinbarten Nullniveau der potentiellen Energie, in diesem Beispiel die Höhe über der Erdoberfläche. Für die Gewichtskraft gilt in der Nähe der Erdoberfläche \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\), so dass für die potentielle Energie geschrieben werden kann\[{E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot h\]Für die Änderung der potentiellen Energie gilt dann\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{pot}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}{\rm{,nachher}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,vorher}}}}\\ &=& {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}}\\ &=& m \cdot g \cdot {h_{\rm{B}}} - m \cdot g \cdot {h_{\rm{A}}}\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}} \right)\end{eqnarray}\]

a)Hier gilt \({h_{\rm{B}}} < {h_{\rm{A}}}\). Der Betrag von \({{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}}\) ist gleich der Länge der Strecke \({s_{{\rm{AB}}}}\), so dass gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}<0\]

Eine andere Möglichkeit, die Änderung der potentiellen Energie zu berechnen geht über die Arbeitsberechnung: Die Gewichtskraft beschleunigt den Körper von A nach B. Für die Beschleunigungsarbeit gilt bei konstanter Kraft\[{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]Bei B ist die kinetische Energie des Körper um den Betrag \(m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\) höher als bei A. Aufgrund des Energiesatzes muss die potentielle Energie bei B um diesen Betrag kleiner sein, so dass gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]

b)Auch hier gilt \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot \left( {{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}} \right)\). Da nun \({h_{\rm{B}}} > {h_{\rm{A}}}\) ist, gilt in diesem Fall\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = \left( + \right) m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]Eine leicht verschiedene Möglichkeit die Änderung der potentiellen Energie zu bestimmen könnte wie folgt aussehen: Um den Körper von A nach B zu bringen, muss an dem System von außen die Hubarbeit\[{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]verrichtet werden. Diese Hubarbeit führt zu einer Erhöhung der potentiellen Energie, somit gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]

Bewegung im homogenen elektrischen Feld - qualitative Energiebetrachtung

Auch bei der Bewegung von geladenen Körpern im homogenen Feld des Plattenkondensators wirkt eine konstante Kraft, nämlich die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}} = q \cdot \vec E\). Bei der Bewegung von Ladungen in diesem Feld kommt es ebenfalls zu Änderungen der potentiellen Energie. Damit Sie ein Gefühl dafür entwickeln, wann die potentielle Energie des geladenen Körpers zu bzw. abnimmt, sollen Sie die folgenden Aufgaben bearbeiten.

Aufgabe

Bestimme das Vorzeichen von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) für die vier nebenstehend skizzierten Fälle.

Lösung

a)Der positiv geladene Körper geht (von selbst) von A nach B. Er wird durch die elektrische Feldkraft beschleunigt und wird in B kinetische Energie besitzen. Aufgrund des Energiesatzes muss also die potentielle Energie bei diesem Vorgang abnehmen. Deshalb gil\[\Delta {E_{\rm{pot}}} < 0\]

b)Damit der positiv geladene Körper von A nach B geht, muss von außen Arbeit am System verrichtet werden. Somit nimmt die potentielle Energie bei diesem Vorgang zu. Es gilt\[\Delta {E_{\rm{pot}}} > 0\]

c)Damit der negativ geladene Körper von A nach B geht, muss von außen Arbeit am System verrichtet werden. Somit nimmt die potentielle Energie bei diesem Vorgang zu. Es gilt\[\Delta {E_{\rm{pot}}} > 0\]

d)Der negativ geladene Körper geht (von selbst) von A nach B. Er wird durch die elektrische Feldkraft beschleunigt und wird in B kinetische Energie besitzen. Aufgrund des Energiesatzes muss also die potentielle Energie bei diesem Vorgang abnehmen. Es gilt\[\Delta {E_{\rm{pot}}} < 0\]

Berechnung der potentiellen Energie im homogenen elektrischen Feld

Nach den qualitativen Vorbetrachtungen zum Vorzeichen von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) soll nun die Änderung der potentiellen Energie einer Ladung im homogenen elektrischen Feld berechnet werden. Dabei werden wir so ähnlich vorgehen wie in der Aufgabe zur Arbeitsberechnung im Gravitationsfeld.

Stimmen die Kraftrichtung und die Wegrichtung bei der Bewegung eines geladenen Körpers überein (Fall a) und d)), so verrichtet das elektrische Feld eine positiv zu zählende Feldarbeit\[{W_{{\rm{Feld}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \cdot {s_{{\rm{AB}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right| > 0\]Hinweis:Auf den rechten Seiten der obigen Gleichungen stehen jeweils Beträge.

Bei den dargestellten Vorgängen nimmt die potentielle Energie des geladenen Körpers um den Betrag der Feldarbeit ab:\[\Delta {E_{\rm{pot}}} = - {W_{\rm{Feld}}} \Rightarrow \Delta {E_{\rm{pot,AB}}} = - \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{\rm{AB}}}} \right| < 0 \quad(1)\]Achtung: Die obigen Aussagen beziehen sich auf den Spezialfall, bei dem die Richtung der elektrischen Kraft und die Richtung des Vektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\) übereinstimmen. Stimmen die Richtung der elektrischen Kraft und die Richtung des Vektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\) nicht überein, so ist die Feldarbeit negativ zu zählen und die potentielle Energie nimmt bei dem betrachteten Vorgang zu. In beiden Fällen gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - {W_{{\rm{Feld}}}}\]

In der Mechanik hat es sich bewährt, dass man für die potentielle Energie ein Nullniveau vereinbart. Im Beispiel ganz oben (1. Aufgabe) haben wir als Nullpunkt der Höhenenergie (potentielle Energie) die Erdoberfläche gewählt. Ähnlich verfährt man auch im elektrischen Fall. Ordnen wir z.B. im Fall b) der negativ geladenen Platte die potentielle Energie Null zu, so gilt für die Bewegung der positiven Probeladung von der negativen Platte aus, dass die potentielle Energie zunimmt, da die Bewegungsrichtung und die Kraftrichtung entgegengesetzt sind:\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right|\]Da \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = 0\) gewählt wurde, gilt\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right|\]Legt man den Punkt B auf die positive Platte und bezeichnet man den Plattenabstand mit \(d\), so gilt\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| d \right|\]

Detailliertere Betrachtungen

Bei der Berechnung der Feldarbeit \({W_{{\rm{Feld}}}}\) muss man eigentlich berücksichtigen, dass sowohl die elektrische Kraft als auch der vom Ladungsträger zurückgelegte Weg Vektoren darstellen. Die Feldarbeit ergibt sich dann als das Skalarprodukt des Vektors der Feldkraft \({\vec F_{\rm{el}}}\) und des Verschiebungsvektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\). Damit gilt für die Feldarbeit\[{W_{\rm{Feld}}} = {\vec F_{\rm{el}}} \cdot {\vec s_{\rm{AB}}} = q \cdot \vec E \cdot {\vec s_{\rm{AB}}}\]Dabei ist \(q\) die Ladung des bewegten Körpers (kann positiv oder negativ sein), \(\vec E\) der Vektor der elektrischen Feldstärke, dessen Richtung mit der Kraftrichtung auf eine positive Probeladung zusammenfällt und \({\vec s_{\rm{AB}}}\) der Verschiebungsvektor, der die Richtung und die Länge der Ladungsverschiebung beinhaltet.

Mathematischer Exkurs: Skalarprodukt zweier Vektoren

Als multiplikative Verknüpfung zweier Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) kennt man in der Mathematik zwei Formen:

Das Vektorprodukt mit der Schreibweise \(\vec c = \vec a \times \vec b\). Das Ergebnis ist wiederum ein Vektor \(\vec c\), der auf der durch \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Ebene senkrecht steht. Auf Einzelheiten dieser Produktform wird zunächst nicht eingegangen.

Das Skalarprodukt mit der Schreibweise \(d = \vec a \cdot \vec b\). Das Ergebnis ist eine skalare (nicht vektorielle) Größe \(d\). Die Vorschrift zur Berechnung des Skalars \(d\) lautet\[d = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \alpha \]Dabei bedeutet \(a = \left| {\vec a} \right|\) die Länge des Vektors \(\vec a\), \(b = \left| {\vec b} \right|\) die Länge des Vektors \(\vec b\) und \(\alpha \) den Winkel zwischen den beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\).

Damit lautet die allgemeine Schreibweise für die Feldarbeit \({W_{{\rm{Feld}}}}\) bzw. die Änderung der potentiellen Energie \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) im homogenen elektrischen Feld\[{W_{\rm{Feld}}} = q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{\rm{AB}}}} \right| \cdot \cos \left( \alpha \right) \]Da die Änderung der potentiellen Energie gleich dem Negativen der Feldarbeit ist (\(\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - {W_{{\rm{Feld}}}}\)), ergibt sich für \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\)\[\Delta {E_{\rm{pot}}} = - q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{\rm{AB}}}} \right| \cdot \cos \left( \alpha \right) \quad (2)\]Meist wenden wir diese Beziehung auf drei besonders einfache Sonderfälle an:

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) haben die gleiche Orientierung: Dann ist \(\alpha = 0^\circ\), \(\cos \alpha = 1\) und \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{AB}}} \right|\)

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) haben entgegengesetze Orientierung: Dann ist \(\alpha = 180^\circ\), \(\cos \alpha = -1\) und \(\Delta {E_{pot}} = (+) q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{AB}}} \right|\)

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) stehen aufeinander senkrecht: Dann ist \(\alpha = 90^\circ\), \(\cos \alpha = 0\) und \(\Delta {E_{pot}} =0\). Stehen also \(\vec E\) und \({\vec s_{AB}}\) aufeinander senkrecht, so wird keine Feldarbeit verrichtet. Bei der Bewegung des Ladungsträgers ändert sich dessen potentielle Energie nicht.

Aufgabe

Zeige, dass mit Hilfe der Beziehung (2) bei Aufgabe 2 - ohne tieferes physikalisches Nachdenken - die richtigen Vorzeichen für die Änderung der potentiellen Energie ergeben.

Berechne die Änderung der potentiellen Energie in Aufgabe 2a und 2b für E = 2,0·104 N/As; |q| = 2,0·10-17 As; sAB = 0,10m

Lösung
a)

Fall a): Bewegungsrichtung und Feldrichtung stimmen überein, d.h. α = 0° → cosα = 1. Der Ausdruck \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot E \cdot {s_{AB}} \cdot 1\) ist wegen q > 0 insgesamt negativ, d.h. die potentielle Energie nimmt ab.

Fall b): Bewegungsrichtung und Feldrichtung haben entgegengesetzte Richtung, d.h. α = 180° → cosα = -1. Der Ausdruck \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot E \cdot {s_{AB}} \cdot \left( { - 1} \right) = q \cdot E \cdot {s_{AB}}\) ist wegen q > 0 insgesamt positiv, d.h. die potentielle Energie nimmt zu.

Fall c): Bewegungsrichtung und Feldrichtung stimmen überein, d.h. α = 0° → cosα = 1. Der Ausdruck \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot E \cdot {s_{AB}} \cdot 1\) ist wegen q < 0 insgesamt positiv, d.h. die potentielle Energie nimmt zu.

Fall d): Bewegungsrichtung und Feldrichtung haben entgegengesetzte Richtung, d.h. α = 180° → cosα = -1. Der Ausdruck \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot E \cdot {s_{AB}} \cdot \left( { - 1} \right) = q \cdot E \cdot {s_{AB}}\) ist wegen q < 0 insgesamt negativ, d.h. die potentielle Energie nimmt ab.

b)

Fall a):\[\Delta {E_{pot}} =  - q \cdot E \cdot {s_{AB}}\;\;\;{\mkern 1mu}  \Rightarrow \;\;\;{\mkern 1mu} \Delta {E_{pot}} =  - 2,0 \cdot {10^{ - 17}} \cdot 2,0 \cdot {10^4} \cdot 0,10\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \approx  - 4,0 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{J}}\]

Fall b):\[\Delta {E_{pot}} = q \cdot E \cdot {s_{AB}}\;\;\;{\mkern 1mu}  \Rightarrow \;\;\;{\mkern 1mu} \Delta {E_{pot}} = 2,0 \cdot {10^{ - 17}} \cdot 2,0 \cdot {10^4} \cdot 0,10\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \approx 4,0 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{J}}\]

Die Idee, dass elektrische Ladung durch diskrete Teilchen hervorgerufen wird, wurde zuerst 1750 von Benjamin FRANKLIN beschrieben. 1881 erhielten diese Teilchen den Namen Elektronen.

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN benannte MILLIKAN-Versuch zeigte, dass alle elektrischen Ladungen ganzzahlige Vielfache einer sogenannten Elementarladung, einer kleinstmöglichen  elektrischen Ladung sind; sie ist betragsmäßig gleich der Ladung eines einzelnen Elektrons. Bereits 1910 erhielt MILLIKAN als Wert für die Elementarladung \(1,63 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\). Bis zum Jahr 1917 verbesserte er diesen Wert auf \(1,59 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\). Heutige Messungen ergeben mit der noch im Prinzip gleichen Versuchsanordnung den Wert \(1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\).

Alle elektrischen Ladungen sind ganzzahlige Vielfache der sogenannten Elementarladung \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{C}}\). Die elektrische Ladung ist also eine gequantelte Größe.

Die Ladung eines Elektrons beträgt \( - e =  - 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{C}}\).

Allgemeine Betrachtungen

In der Beziehung für die Änderung der potentiellen Energie im homogenen elektrischen Feld taucht stets der Faktor \(q\) der Probeladung auf. Eine Größe, welche das betrachtete elektrische Feld unabhängig von der Probeladung beschreibt, ist die elektrische Potentialdifferenz \(\Delta \varphi \):

Unter der elektrischen Potentialdifferenz \(\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}}\) versteht man den von der Probeladung \(q\) unabhängigen negativen Quotienten aus der Änderung der potentiellen Energie und der Probeladung\[\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = - \frac{{\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}}}{q}\]Für die Einheit der Potentialdifferenz gilt\[{\left[ {\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}}} \right] = \frac{{\left[ {\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}} \right]}}{{\left[ q \right]}} = \frac{{{\rm{1J}}}}{{{\rm{1A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1{\rm{V}}}\]Bei \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} = q \cdot E \cdot {s_{\rm{B}}}\) taucht stets die Probeladung \(q\) auf. Eine Größe, die jeden Punkt des homogenen Feldes - unabhängig von der Größe der Probeladung - charakterisiert, ist das elektrische Potential \(\varphi \) Die folgende Festlegung gilt nicht nur für das homogene Feld, sondern für alle elektrischen Feldtypen.

Das elektrische Potential \(\varphi \) eines Punktes im elektrischen Feld ist der Quotient aus der potentiellen Energie eines geladenen Körpers in diesem Punkt und der Ladung dieses Körpers.

Spezialfall Homogenes elektrisches Feld

Für die Änderung der potentiellen Energie bei der Bewegung der positiven Ladung von A nach B gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}} = q \cdot E \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]Dann gilt für die Potentialdifferenz\[{{\varphi _A} - {\varphi _B} = \Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} =  - \frac{{\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}}}{q} =  - E \cdot {s_{{\rm{AB}}}}}\]Setzt man das Potential der negativen Platte \({\varphi _{\rm{A}}} = 0\), so gilt\[{\varphi _{\rm{B}}} = E \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]Neben dem Punkt B gibt es noch eine Reihe weiterer Punkte (B'), welche das gleiche Potential wie B besitzen. Alle diese Punkte liegen auf einer Äquipotentiallinie.

Legt man den Punkt B auf die positive Platte, so gilt\[{\varphi _{\rm{B}}} = E \cdot d\]Der Betrag der Potentialdifferenz zwischen den Platten und damit auch die Spannung \(U\) zwischen den Platten ist dann \(E \cdot d\). Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke und der Spannung an einem Plattenkondensator lässt sich auch in folgender Form schreiben:\[E = \frac{U}{d}\]Hinweis: Mit obiger Formel für \(E\) können wir auch dessen Einheit erschließen:\[\left[ E \right] = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ d \right]}}\quad \Rightarrow \quad \left[ E \right] = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Bei der Einführung der elektrischen Feldstärke \(E\) benutzten wir als Einheit\[\left[ E \right] = \frac{{\left[ F \right]}}{{\left[ q \right]}}\quad \Rightarrow \quad \left[ E \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}\]

Aufgabe

Zeige, dass diese beiden Einheiten für die elektrische Feldstärke \(E\) ineinander überführbar sind.

Lösung

\[\left[ E \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

Elektrische Spannung

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten A und B wird auch als Spannung \({U_{{\rm{AB}}}}\) bezeichnet.

Es gilt\[{U_{AB}} = \Delta {\varphi _{AB}} = {\varphi _A} - {\varphi _B}\quad \quad \left[ {{U_{AB}}} \right] = 1{\rm{V}}\]φA und φB nennt man die Potentiale der Feldpunkte A bzw. B.

Ähnlich wie man bei der potentiellen Energie im Gravitationsfeld einem bestimmten Bezugspunkt die potentielle Energie Null zuordnet, kann man im elektrischen Feld einem bestimmten Punkt das Potential Null zuordnen (z.B. gibt man häufig der negativen oder der geerdeten Platte das Potential Null).

Punkte mit gleichem Potential liegen auf sogenannten Äquipotentiallinien. Diese Äquipotentiallinien verlaufen stets senkrecht zu den elektrischen Feldlinien. Bei der Bewegung eines geladenen Körpers längs einer Äquipotentiallinie wird keine Arbeit verrichtet.

Das folgende Gedankenexperiment zeigt, dass die soeben eingeführte Spannung \({U_{{\rm{AB}}}}\) (als Potentialdifferenz) nichts anders ist, als die elektrische Spannung \(U\), welche wir schon seit der Mittelstufe benutzen.

An die Platten eines Kondensators wird die elektrische Spannung \(U\) angelegt, die mit dem parallel geschaltenen Voltmeter gemessen werden kann. Nach den obigen Ausführungen ist die Potentialdifferenz zwischen der positiven und der negativen Platte (Abstand \(d\))\[\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = {U_{{\rm{AB}}}} = E \cdot d \quad (1)\]Bewegt sich die positive Probeladung \(q\) von der positiven zur negativen Platte, so wird dabei eine Bewegungsenergie gewonnen, die betragsgleich dem Verlust an potentieller Energie der Probeladung ist. Diese Energie kann nur aus dem Energieinhalt des Kondensators stammen.

Die Probeladung \(q\) wird von der elektrioschen Quelle durch einen Stromstoß \(I \cdot \Delta t\) in der Kondensatorzuleitung ersetzt. Dabei ist die von der Stromquelle gelieferte elektrische Energie (vgl. Mittelstufenunterricht)\[{E_{{\rm{el}}}} = U \cdot I \cdot t = U \cdot q \quad (2)\]Nach der Bewegung der Probeladung von der positiven zur negativen Platte hat der Kondensator den gleichen Zustand, also die gleiche Energie wie vorher. Die gewonnene Bewegungsenergie, die betragsmäßig gleich der Abnahme der potentiellen Energie ist, muss genauso groß sein, wie die von der Stromquelle zugeführte elektrische Energie \(\Delta {E_{{\rm{el}}}}\). Für den Betrag der potentiellen Energie gilt \[\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = q \cdot E \cdot d\quad {\rm{mit}}\;\left( 1 \right)\;{\rm{folgt}}:\;\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = q \cdot {U_{AB}}\quad \left( 3 \right)\]Da gilt \[\begin{array}{l}\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = \left| {\Delta {E_{elektr}}} \right|\quad {\rm{aus}}\;{\rm{Vergleich}}\;{\rm{von}}\;\left( 2 \right)\;{\rm{und}}\;\left( 3 \right)\;{\rm{folgt:}}\\\quad \quad \quad {\rm{q}} \cdot {{\rm{U}}_{AB}} = U \cdot q\quad \Rightarrow \quad {{\rm{U}}_{AB}} = U\end{array}\]Das oben angestellte Gedankenexperiment zeigt also, dass die in der Mittelstufe eingeführte Spannung nicht anderes ist, als die Potentialdifferenz \(\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = {U_{{\rm{AB}}}}\).

Wie für ein homogenes elektrisches Feld schon erklärt wurde, erhält man das Potential eines Punktes im elektrischen Feld, indem man die potentielle Energie der betrachteten Probeladung durch den Wert der Probeladung dividiert. Um die potentielle Energie berechnen zu können, muss man den Verlauf der Kraft auf die Probeladung im betrachteten Feld wissen.

Für das COULOMB-Feld einer Punktladungen gilt \({F_{{\rm{el}}}} \sim \frac{1}{{{r^2}}}\). Für die Berechung von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) muss man die Fläche unter der rechts dargestellten Kurve berechnen. Hierzu benötigt man das Mittel der Integralrechnung, welches dir von der Mathematik her noch nicht zur Verfügung steht. Daher wird das Ergebnis der Rechnung mitgeteilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right)\]Um die potentielle Energie in einem Punkt angeben zu können, vereinbart man wie üblich einen Nullpunkt der potentiellen Energie: Die potentielle Energie im unendlich fernen Punkt (d.h. \({r_2} \to \infty \)) ist Null, d.h. \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} = 0\). Daraus folgt\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r_1}}}\]oder allgemein\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]Für das Potential in der Entfernung \(r\) gilt dann\[\varphi \left( r \right) = \frac{{{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right)}}{{{Q_2}}} = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]Das Potential zeigt also - im Gegensatz zur elektrischen Feldstärke - einen \(\frac{1}{r}\)-Verlauf.

Aus der Beziehung für das Potential ersieht man: Alle Punkte, welche von der felderzeugenden Ladung \(Q_1\) die gleiche Entfernung haben, besitzen das gleiche Potential. Dies bedeutet, dass die Linien gleichen Potentials (Äquipotentiallinien) bei einer Punktladung konzentrische Kreise um die Punktladung darstellen.

Mit Computerprogrammen ist es relativ einfach möglich das Potential auch dreidimensional darzustellen. Der Link am Ende des Artikels führt zu einem derartigen Programm.

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