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Grundwissen

Potenzial

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Jedem Punkt \(\rm{P}\) eines elektrischen Feldes kann ein Potenzial \(\varphi_{\rm{P}_0} \left( \rm{P} \right)=\frac{{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}}{q}\) zugeordnet werden. Dieses Potenzial ist von der Größe und der Anordnung der felderzeugenden Ladung \(Q\) und der Wahl eines Bezugspunktes \(\rm{P}_0\) abhängig.
  • Im COULOMB-Feld wählt man den Bezugspunkt des Potenzials unendlich weit von der felderzeugenden Ladung entfernt. Dann hat das Potenzial im Abstand \(r\) von der felderzeugenden Ladung den Wert \( {\varphi \left( r \right)} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot Q \cdot \frac{1}{r}\).
  • Im homogenen elektrischen Feld (z.B. im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten) wählt man als Bezugspunkt des Potenzials die Oberfläche der negativ geladenen Platte. Dann hat das Potenzial im Abstand \(x\) von der negativ geladenen Platte den Wert \(\varphi \left( x \right) = E \cdot x\) bzw. \(\varphi \left( x \right) = \frac{1}{{{\varepsilon_0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{A} \cdot x\).
Aufgaben Aufgaben

Im Artikel zur potenziellen Energie haben wir Folgendes gezeigt: Wenn man in einem elektrischen Feld einen Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) mit \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{{\rm{P}}_0}} \right) = 0\) festlegt und sich eine Ladung \(q\) an einem Punkt \(\rm{P}\) im Feld befindet, dann besitzt das System aus felderzeugender Ladung \(Q\) und Ladung \(q\) die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)\).

Die Größe \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)\) ist allerdings von der Größe \(q\) der Ladung abhängig, und zwar zu dieser Ladung \(q\) proportional. Zur Beschreibung des elektrischen Feldes, das ja allein von der felderzeugenden Ladung \(Q\) abhängt, ist die Größe \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)\) also ungeeignet.

Bilden wir nun aber den Quotienten \(\frac{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}{q}\), so ist diese neue Größe von der Größe \(q\) der Ladung unabhängig (ja sogar unabhängig davon, ob die Ladung \(q\) überhaupt anwesend ist) und nur noch von der Größe und der Anordnung der felderzeugenden Ladung \(Q\) sowie dem Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) abhängig. Diese neue Größe, das sogenante Potenzial, stellt eine weitere - und wie wir noch sehen werden sehr nützliche - Möglichkeit zur Beschreibung des elektrischen Feldes dar.

Potenzial

Ist in einem elektrischen Feld ein Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) mit \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{{\rm{P}}_0}} \right) = 0\) festlegt und \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)\) die potenzielle Energie einer Ladung \(q\) an einem Punkt \(\rm{P}\), dann definiert man die Größe\[{\varphi_{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) := \frac{{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}}{q} \quad(1)\]als das Potenzial am Punkt \(\rm{P}\) bezogen auf den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\). Jeder Punkt \(\rm{P}\) des elektrischen Feldes besitzt also ein Potenzial \(\varphi_{\rm{P}_0} \left( \rm{P} \right)\), unabhängig davon, ob sich dort überhaupt ein Ladung befindet; für den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) gilt dann \({\varphi \left( {{{\rm{P}}_0}} \right) = 0}\).

Für die Einheit des Potenzials gilt wegen \((1)\)\[{\left[ \varphi  \right] = \frac{{\left[ {{E_{{\rm{pot}}}}} \right]}}{{\left[ q \right]}} = \frac{{1{\rm{J}}}}{{1{\rm{C}}}} = :1{\rm{V}}\;{\rm{(Volt)}}}\]

Ein Punkt \(\rm{P}\) eines elektrischen Feldes besitzt also das Potential \(+1\,\rm{V}\), wenn eine Ladung der Größe \(1\,\rm{C}\) am Punkt \(\rm{P}\) gegenüber dem Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) eine potenzielle Energie der Größe \(+1\,\rm{J}\) besitzen würde.

Tab. 1 Definition des Potenzials und seiner Einheit

Größe
Name Symbol Definition
Potenzial \(\varphi\), genauer \({\varphi _{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)\) \({\varphi _{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) := \frac{{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}}{q}\)
Einheit
Name Symbol
Volt \(\rm{V}\)

Potenzial im COULOMB-Feld

Ortsfeste Ladung
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Abb. 1 Potenzial im Raum um eine ortsfeste Punktladung

Für das COULOMB-Feld einer Punktladung setzt man den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) der potenziellen Energie und damit auch des Potenzials unendlich weit von dieser Punktladung entfernt. Es gilt somit \(\varphi \left( \infty \right) = 0\).

In der Simulation in Abb. 1 ist das Potenzial (in der Simulation kurz \(\varphi\)) im Raum um eine ortsfeste Punktladung dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir das Potenzial an diesem Punkt anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Das Potenzial ist für eine positive Punktladung überall positiv.

    Das Potenzial ist für eine negative Punktladung überall negativ.

  • Je kleiner der Abstand \(r\) des Punktes zu der Punktladung ist, desto größer ist der Betrag des Potenzials an diesem Punkt.

Um einen Term für den Betrag des Potenzials im COULOMB-Feld einer Punktladung zu erhalten wenden wir auf den allgemeinen Zusammenhang \((1)\) \({\varphi_{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) = \frac{{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}}{q}\) unsere bisherigen Ergebnisse für das COULOMB-Feld an.

So ergibt sich wegen \({E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot Q \cdot q \cdot \frac{1}{r}\), dass auch das Potenzial bei der Wahl des Bezugspunktes \(\rm{P}_0\) im Unendlichen nur vom Abstand \(r\) des Punktes \(\rm{P}\) zur Punktladung abhängt. Es gilt also \({\varphi_{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) = \varphi \left( r \right)\). Damit ergibt sich aus \((1)\)\[ {\varphi \left( r \right)}  =  {\frac{{{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right)}}{q}}  = {\frac{{\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot Q \cdot q \cdot \frac{1}{r}}}{q}}  =  {\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot Q \cdot \frac{1}{r}}\]

Potenzial im COULOMB-Feld

Für das COULOMB-Feld einer Punktladung setzt man den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) des Potenzials unendlich weit von der Punktladung entfernt. Es gilt somit \(\varphi \left( \infty \right) = 0\).

Abb. 2 Potenzial im COULOMB-Feld einer positiven  (\(Q>0\), links) bzw. negativen (\(Q<0\), rechts) Punktladung

Dann gilt für das Potenzial \({\varphi \left( r \right)}\) im COULOMB-Feld einer Punktladung:

  • \({\varphi \left( r \right)}\) ist für eine positive Punktladung überall positiv.

    \({\varphi \left( r \right)}\) ist für eine negative Punktladung überall negativ.

  • Der Wert \({\varphi \left( r \right)}\) ist proportional zur Ladung \( Q \) der Punktladung und umgekehrt proportional zum Abstand \(r\) zur Punktladung. Er berechnet sich durch\[ {\varphi \left( r \right)} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot Q \cdot \frac{1}{r} \quad(2)\]
Verständnisaufgabe
Aufgabe

Die Simulation in Abb. 1 rechnet in einem Raumbereich mit den Abmessungen \(0{,}330\,\rm{m} \times 0{,}330\,\rm{m}\), der ortsfesten Punktladung \(Q\) mit \(\left| Q \right|= 1{,}50 \cdot 10^{-8}\,\rm{C}\) und der beweglichen Punktladung \(q\) mit \(\left| q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{C}\).

Berechne den Betrag \(\left| \varphi \left( r \right) \right|\) des Potenzials im Abstand von \(r=0{,}0948\,\rm{m}\) von der ortsfesten Punktladung.

Lösung

Nach Gleichung \((2)\) ergibt sich\[\left| \varphi \left( r \right) \right| = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon_0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{r} \Rightarrow \left| \varphi \left( 0{,}0948\,{\rm{m}} \right) \right| = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}}\,{\rm{s}}}}{{{\rm{V}}\,{\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{1{,}00 \cdot {{10}^{-8}}\,{\rm{C}}}}{{0{,}0948\,{\rm{m}}}} = 9{,}48 \cdot {10^2}\,{\rm{V}} = 948\,{\rm{V}}\]

Potenzial im homogenen elektrischen Feld

Plattenladung
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Abb. 3 Potenzial im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Für das homogene elektrische Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten setzt man den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) der potenziellen Energie und damit auch des Potenzials auf die Oberfläche der negativ geladenen Platte und misst alle Abstände \(x\) von dieser Platte aus. Es gilt somit \(\varphi \left( 0 \right) = 0\).

In der Simulation in Abb. 3 ist das Potenzial (in der Simulation kurz \(\varphi\)) im homogenen Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir das Potenzial an diesem Punkt anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Das Potenzial ist überall positiv.

  • Je größer der Abstand \(x\) des Punktes zur Oberfläche der negativ geladenen Platte ist, desto größer ist der Betrag des Potenzials an diesem Punkt.

Um einen Term für den Betrag des Potenzials im homogenen elektrischen Feld zu erhalten wenden wir auf den allgemeinen Zusammenhang \((1)\) \({\varphi_{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) = \frac{{{E_{{\rm{pot}}{\rm{,}}{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right)}}{q}\) unsere bisherigen Ergebnisse für das homogene elektrische Feld an.

So ergibt sich wegen \({E_{{\rm{pot}}}}\left( x \right) = {F_{{\rm{el}}}} \cdot x\), dass auch das Potenzial bei der Wahl des Bezugspunktes \(\rm{P}_0\) auf der Oberfläche der negativ geladenen Platte nur vom Abstand \(x\) des Punktes \(\rm{P}\) zu dieser Oberfläche abhängt. Es gilt also \({\varphi_{{{\rm{P}}_0}}}\left( {\rm{P}} \right) = \varphi \left( x \right)\). Damit ergibt sich aus \((1)\)\[\varphi \left( x \right) = \frac{{{E_{{\rm{pot}}}}\left( x \right)}}{q} = \frac{{{F_{{\rm{el}}}} \cdot x}}{q} = E \cdot x\]

Potenzial im homogenen elektrischen Feld

Für das homogene elektrische Feld (z.B. im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten) setzt man den Bezugspunkt \(\rm{P}_0\) des Potenzials auf die Oberfläche der negativ geladenen Platte und misst alle Abstände \(x\) von dieser Platte aus. Es gilt somit \(\varphi \left( 0 \right) = 0\).

Abb. 4 Potenzial im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Dann gilt für das Potenzial \({\varphi \left( x \right)}\) im homogenen elektrischen Feld:

  • \({\varphi \left( x \right)}\) ist im homogenen elektrischen Feld überall positiv.

  • Der Betrag \(\left| {\varphi \left( x \right)} \right|\) ist proportional zum Betrag der elektrischen Feldstärke \(E\)  und proportional zum Abstand \(x\) zur negativ geladenen Platte. Er berechnet sich durch\[\varphi \left( x \right)  = E \cdot x \quad(3)\]

Für den Fall zweier entgegengesetzt geladener Platten (Flächeninhalt \(A\), Plattenladung \(Q\)) ergibt sich\[\varphi \left( x \right) = \frac{1}{{{\varepsilon_0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{A} \cdot x\]und damit für das Potenzial \(\varphi \left( d \right)\) auf der Oberfläche der positiv geladenen Platte gilt wegen \(x=d\) (Plattenabstand)\[\varphi \left( d \right) = E \cdot d = \frac{1}{{{\varepsilon_0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{A} \cdot d\]

Verständnisaufgabe
Aufgabe

Die Simulation in Abb. 2 rechnet mit dem (für beide Platten gleichen) Flächeninhalt der Platten \(A = 0{,}1129\,\rm{m}^2\), dem Plattenabstand \(d = 0{,}310\,\rm{m}\), der (auf beiden Platten gleichen) Plattenladung \(Q\) mit \(\left| Q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-8}\,\rm{C}\) und der beweglichen Ladung \(q\) mit \(\left| q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{C}\).

Berechne den Wert \( \varphi \left( x \right)\) des Potenzials an der Oberfläche der positiv geladenen Platte.

Lösung

Nach Gleichung \((3)\) ergibt sich mit \(x=d=0{,}310\,{\rm{m}}\)\[\varphi \left( x \right) = \frac{1}{{{\varepsilon_0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{A} \cdot x \Rightarrow \varphi \left( 0{,}310\,{\rm{m}} \right) = \frac{1}{{8{,}854 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}}\,{\rm{s}}}}{{{\rm{V}}\,{\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{1{,}00 \cdot {{10}^{-8}}\,{\rm{C}}}}{{0{,}1129\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}310\,{\rm{m}} = 3{,}10\cdot {10^3}\,{\rm{V}} = 3100\,{\rm{V}}\]