Ein sehr präzises Messverfahren für Werte von Widerständen geht auf Charles WHEATSTONE (1802 - 1875) zurück. Die nach ihm benannte Schaltung heißt WHEATSTONE-Brücke.
Der unbekannte zu messende Widerstand \(R_x\) wird wie skizziert mit den bekannten Widerständen \(R_{\rm{0}}\), \(R_{\rm{1}}\) und \(R_{\rm{2}}\) verschaltet. Meist verwendet man für \(R_{\rm{1}}\) und \(R_{\rm{2}}\) einen Draht, an dem über einen Schleifkontakt \(\rm{S}\) abgegriffen werden kann. Zwischen die Punkte \(\rm{A}\) und \(\rm{S}\) wird ein sehr empfindliches Amperemeter geschaltet. Ist der Strom \(I_{\rm{A}}\) durch das Amperemeter Null, so sagt man: "die Brücke ist abgeglichen".
a)
Was kann man über die Spannung \(U_{\rm{AS}}\) für den Fall \(I_{\rm{A}}=0\) (Abgleich) sagen?
b)
Erläutere, dass für\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]die Spannung \(U_{\rm{AS}} = 0 \, \rm{V}\) ist.
c)
Zeige, dass beim Abgleich gilt:
\[{R_x} = {R_0} \cdot \frac{R_2}{R_1}\]
d)
Wie groß ist \(R_x\), wenn \(R_0 = 200 \, \Omega\) ist und für die Strecke gilt:
\(\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm}}\)
\(\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm}}\)
e)
Es werde angenommen, dass die Strecke \(\overline {0{\rm{S}}} \) auf \(\pm 2 \, \rm{mm}\) genau eingestellt werden kann.
Berechne für die beiden Fälle von Teilaufgabe d) den minimalen und den maximalen Wert für \(R_x\).
Drücke jeweils das Fehlerintervall als Prozentsatz von dem in d) berechneten Wert für \(R_x\) aus.
Wie sollte daher die Dimensionierung der Brücke erfolgen?
Abb. 2 Lösungsvideo mit Herleitung der Verhältnisgleichung
a)
Die Spannung \(U_{\rm{AS}}\) ist für den Fall \(I_{\rm{A}}=0\) (Abgleich) ebenfalls Null. Ansonsten würde ein Strom \(I_{\rm{A}}\) fließen.
b)
Stellt man für die Kreise 1 und 2 (rote Markierung) die Maschenregel auf, so sieht man für \(U_{\rm{AS}} = 0 \, \rm{V}\), dass \(U_0 = U_1\) (1) und \(U_x = U_2\) (2) sein muss. Dividiert man (2) durch (1) so erhält man\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]
