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Aufgabe

WHEATSTONE-Brücke

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Samuel Laurence, Public domain, via Wikimedia Commons
Abb. 1 Charles WHEATSTONE (1802 - 1875)

Ein sehr präzises Messverfahren für Werte von Widerständen geht auf Charles WHEATSTONE (1802 - 1875) zurück. Die nach ihm benannte Schaltung heißt WHEATSTONE-Brücke.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Schaltbild einer Wheatstone-Schaltung

Der unbekannte zu messende Widerstand \(R_x\) wird wie skizziert mit den bekannten Widerständen \(R_{\rm{0}}\), \(R_{\rm{1}}\) und \(R_{\rm{2}}\) verschaltet. Meist verwendet man für \(R_{\rm{1}}\) und \(R_{\rm{2}}\) einen Draht, an dem über einen Schleifkontakt \(\rm{S}\) abgegriffen werden kann. Zwischen die Punkte \(\rm{A}\) und \(\rm{S}\) wird ein sehr empfindliches Amperemeter geschaltet. Ist der Strom \(I_{\rm{A}}\) durch das Amperemeter Null, so sagt man: "die Brücke ist abgeglichen".

a)

Was kann man über die Spannung \(U_{\rm{AS}}\) für den Fall \(I_{\rm{A}}=0\) (Abgleich) sagen?

b)

Erläutere, dass für\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]die Spannung \(U_{\rm{AS}} = 0 \, \rm{V}\) ist.

c)

Zeige, dass beim Abgleich gilt:

\[{R_x} = {R_0} \cdot \frac{R_2}{R_1}\]

d)

Wie groß ist \(R_x\), wenn \(R_0 = 200 \, \Omega\) ist und für die Strecke gilt:

\(\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm}}\)

\(\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm}}\)

e)

Es werde angenommen, dass die Strecke \(\overline {0{\rm{S}}} \) auf \(\pm 2 \, \rm{mm}\) genau eingestellt werden kann.

Berechne für die beiden Fälle von Teilaufgabe d) den minimalen und den maximalen Wert für \(R_x\).

Drücke jeweils das Fehlerintervall als Prozentsatz von dem in d) berechneten Wert für \(R_x\) aus.

Wie sollte daher die Dimensionierung der Brücke erfolgen?

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Die Spannung \(U_{\rm{AS}}\) ist für den Fall \(I_{\rm{A}}=0\) (Abgleich) ebenfalls Null. Ansonsten würde ein Strom \(I_{\rm{A}}\) fließen.

b)

Stellt man für die Kreise 1 und 2 (rote Markierung) die Maschenregel auf, so sieht man für \(U_{\rm{AS}} = 0 \, \rm{V}\), dass \(U_0 = U_1\) (1) und \(U_x = U_2\) (2) sein muss. Dividiert man (2) durch (1) so erhält man\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]

d)

\[\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_x} = 200 \cdot \frac{{45,0}}{{55,0}}\Omega = 164\Omega\]

\[\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_x} = 200 \cdot \frac{{2,0}}{{98,0}}\Omega = 4,1\Omega \]

e)

\[\begin{array}\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_{x,\min }} = 200 \cdot \frac{{44,8}}{{55,2}}\Omega = 162\Omega \quad {\rm{und}}\quad {{\rm{R}}_{x,\max }} = 200 \cdot \frac{{45,2}}{{54,8}}\Omega = 165\Omega \\
\Rightarrow \quad \Delta = 165\Omega - 162\Omega = 3\Omega \quad {\rm{Relativer}}\;{\rm{Fehler:}}\quad \frac{3}{{164}} \cdot 100\% \approx 1,8\% \\
\Rightarrow \quad \overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_{x,\min }} = 200 \cdot \frac{{1,8}}{{98,2}}\Omega = 3,7\Omega \quad {\rm{und}}\quad {{\rm{R}}_{x,\max }} = 200 \cdot \frac{{2,2}}{{97,8}}\Omega = 4,5\Omega \\
\Rightarrow \quad \Delta = 4,5\Omega - 3,7\Omega = 0,8\Omega \quad {\rm{Relativer}}\;{\rm{Fehler:}}\quad \frac{{0,8}}{{4,1}} \cdot 100\% \approx 20\%\end{array}\]

Man muss also darauf achten, dass der Schleifkontakt S nicht in einer Extremposition ganz am Rande des Drahtes ist, sondern im mittleren Drittel.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise