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Aufgabe

WHEATSTONE-Brücke

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Charles WHEATSTONE (1802 - 1875)
von Samuel Laurence [Public domain],

via Wikimedia Commons

Ein sehr präzises Messverfahren für Werte von Widerständen geht auf Charles WHEATSTONE (1802 - 1875) zurück. Die nach ihm benannte Schaltung heißt WHEATSTONE-Brücke.

 

Der unbekannte zu messende Widerstand Rx wird wie skizziert mit den bekannten Widerständen R0, R1 und R2 verschaltet. Meist verwendet man für R1 und R2 einen Draht, an dem über einen Schleifkontakt S abgegriffen werden kann. Zwischen die Punkte A und S wird ein sehr empfindliches Galvanometer geschaltet. Ist der Strom Ig durch das Galvanometer Null, so sagt man: "die Brücke ist abgeglichen".

 

a)Was kann man über die Spannung UAS für den Fall Ig = 0 (Abgleich) sagen?

b)Erläutere, dass für\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]die Spannung UAS gleich Null ist.

c)Zeige, dass beim Abgleich gilt:\[{R_x} = {R_0} \cdot \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\]

d)Wie groß ist Rx, wenn R0 = 200Ω ist und für die Strecke gilt:

\(\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm}}\)

\(\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm}}\)

e)Es werde angenommen, dass die Strecke \(\overline {0{\rm{S}}} \) auf ±2mm genau eingestellt werden kann.

Berechne für die beiden Fälle von Teilaufgabe d) den minimalen und den maximalen Wert für Rx .

Drücke jeweils das Fehlerintervall als Prozentsatz von dem in d) berechneten Wert für Rx aus.

Wie sollte daher die Dimensionierung der Brücke erfolgen?

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Die Spannung UAS ist für den Fall Ig = 0 (Abgleich) ebenfalls Null (sonst würde ein Strom Ig fließen).

b)Stellt man für die Kreise 1 und 2 (rote Markierung) die Maschenregel auf, so sieht man für UAS = 0, dass U0 = U1 (1) und Ux = U2 (2) sein muss. Dividiert man (2) durch (1) so erhält man\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\]

c)\[\frac{{{U_x}}}{{{U_0}}} = \frac{{{U_2}}}{{{U_1}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{I' \cdot {R_x}}}{{I' \cdot {R_x}}} = \frac{{I \cdot {R_2}}}{{I \cdot {R_1}}}\quad \Rightarrow \quad {R_x} = {R_0} \cdot \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\]

d)\[\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_x} = 200 \cdot \frac{{45,0}}{{55,0}}\Omega = 164\Omega\]

\[\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_x} = 200 \cdot \frac{{2,0}}{{98,0}}\Omega = 4,1\Omega \]

e)\[\overline {0{\rm{S}}} = 55,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_{x,\min }} = 200 \cdot \frac{{44,8}}{{55,2}}\Omega = 162\Omega \quad {\rm{und}}\quad {{\rm{R}}_{x,\max }} = 200 \cdot \frac{{45,2}}{{54,8}}\Omega = 165\Omega \\\quad \quad \Rightarrow \quad \Delta = 165\Omega - 162\Omega = 3\Omega \quad {\rm{Relativer}}\;{\rm{Fehler:}}\quad \frac{3}{{164}} \cdot 100\% \approx 1,8\% \]\[\overline {0{\rm{S}}} = 98,0{\rm{cm:}}\quad {{\rm{R}}_{x,\min }} = 200 \cdot \frac{{1,8}}{{98,2}}\Omega = 3,7\Omega \quad {\rm{und}}\quad {{\rm{R}}_{x,\max }} = 200 \cdot \frac{{2,2}}{{97,8}}\Omega = 0,8\Omega \\\quad \quad \Rightarrow \quad \Delta = 4,5\Omega - 3,7\Omega = 0,8\Omega \quad {\rm{Relativer}}\;{\rm{Fehler:}}\quad \frac{{0,8}}{{4,1}} \cdot 100\% \approx 20\% \]Man muss also darauf achten, dass der Schleifkontakt S nicht in einer Extremposition ganz am Rande des Drahtes ist, sondern im mittleren Drittel.