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Aufgabe

Reihen-Parallel-Schaltung

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In der abgebildeten Schaltung sei \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\), \({R_1} = 38\Omega \), \({R_2} = 20\Omega \) und \({R_3} = 30\Omega \).

Berechne die Spannungen über den drei Widerständen sowie die Stromstärken der Ströme, die durch die drei Widerstände fließen.

Gib auch die Gesamtstromstärke an.

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Zu berechnen sind die 6 Unbekannten \({U_1}\), \({U_2}\), \({U_3}\), \({I_1}\), \({I_2}\) und \({I_3}\), wofür man 6 Gleichungen benötigt.

Betrachtet man die Elektrische Quelle und den Zweig mit den Widerständen \({R_1}\) und \({R_2}\) als eine Masche, so erhält man nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel
\[ - 10{\rm{V}} + {U_1} + {U_2} = 0 \quad(1)\]
Betrachtet man die Elektrische Quelle und den Zweig mit den Widerständen \({R_1}\) und \({R_3}\) als eine Masche, so erhält man nach der KIRCHHOFFschen Maschenregel
\[ - 10{\rm{V}} + {U_1} + {U_3} = 0 \quad(2)\]
Betrachtet man die Verzweigung "hinter" dem Widerstand \({R_1}\) zu den beiden Widerständen \({R_2}\) und \({R_3}\) als Knoten, so erhält nach der KIRCHHOFFschen Knotenregel
\[I_1 - {I_2} - {I_3} = 0 \quad(3)\]
Nach dem OHMschen Gesetz ergibt sich weiter für den Widerstand \({R_1}\)
\[{U_1} = {R_1} \cdot {I_1} \quad(4)\]
für den Widerstand \({R_2}\)
\[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \quad(5)\]
und für den Widerstand \({R_3}\)
\[{U_3} = {R_3} \cdot {I_3} \quad(6)\]
Umformen und Sortieren der 6 Gleichungen liefert das Lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{U_1}}&{ + {U_2}}&{}&{}&{}&{}& = &{10{\rm{V}}}\\{{U_1}}&{}&{ + {U_3}}&{}&{}&{}& = &{10{\rm{V}}}\\{}&{}&{}&{{I_1}}&{ - {I_2}}&{ - {I_3}}& = &0\\{{U_1}}&{}&{}&{ - 38\Omega  \cdot {I_1}}&{}&{}& = &0\\{}&{{U_2}}&{}&{}&{ - 20\Omega  \cdot {I_2}}&{}& = &0\\{}&{}&{{U_3}}&{}&{}&{ - 30\Omega  \cdot {I_3}}& = &0\end{array}\]
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man nun entweder mit der Hand oder aber besser mit einem Computerprogramm oder dem GTR lösen. Dort gibt man die Matrix
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&0&0&0&{10}\\1&0&1&0&0&0&{10}\\0&0&0&1&{ - 1}&{ - 1}&0\\1&0&0&{ - 38}&0&0&0\\0&1&0&0&{ - 20}&0&0\\0&0&1&0&0&{ - 30}&0\end{array}} \right]\]
ein und erhält nach dem Diagonalisieren
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0&0&0&{7,6}\\0&1&0&0&0&0&{2,4}\\0&0&1&0&0&0&{2,4}\\0&0&0&1&0&0&{0,2}\\0&0&0&0&1&0&{0,12}\\0&0&0&0&0&1&{0,08}\end{array}} \right]\]
was als Lösung der Aufgabe bedeutet \({U_1} = 7,6{\rm{V}}\), \({U_2} = 2,4{\rm{V}}\), \({U_3} = 2,4{\rm{V}}\), \({I_1} = 0,20{\rm{A}}\), \({I_2} = 0,12{\rm{A}}\) und \({I_3} = 0,08{\rm{A}}\).

Die Gesamtstromstärke ist die Stromstärke \({I_1} = 0,20{\rm{A}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise