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Aufgabe

Schwingkreis und Wellen (Abitur BY 2009 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen kann man mithilfe eines Schwingkreises und einer geeigneten Rückkopplungsschaltung erzeugen. Nebenstehende Abbildung zeigt einen Schwingkreis mit einem Kondensator der Kapazität C = 50pF und einer Spule mit der Gesamtinduktivität L1 = 1,3μH. Um zwei verschiedene Frequenzen zu erzeugen, kann man einen Schalter zwischen den Positionen und umschalten.

a)Erklären Sie kurz, wie mit dem Prinzip der Rückkopplung eine ungedämpfte elektromagnetische Schwingung erzeugt werden kann. (5 BE)

b)Berechnen Sie die Frequenz f1 des Schwingkreises für Schalterstellung . [zur Kontrolle: f1 = 20MHz] (3 BE)

c)In Schalterstellung soll eine Schwingung doppelter Frequenz erzeugt werden.

Zeigen Sie, dass dies erreicht werden kann, indem man nur ein Viertel der Windungen verwendet. Nehmen Sie dafür an, dass die Spule langgestreckt und die Windungsdichte (Zahl der Windungen pro Längeneinheit) konstant ist. (5 BE)

Der Schalter befindet sich nun wieder in Position . An den Schwingkreis wird ein Sendedipol angekoppelt.

d)Berechnen Sie die kürzeste Länge des Dipols, so dass die Energieübertragung für die Abstrahlung optimal ist.

Begründen Sie, dass sich mit diesem Dipol auch in Schalterstellung elektromagnetische Wellen gut aussenden lassen. (5 BE)

e)Skizzieren Sie die Ladungs- und Stromverteilung längs des Dipols bei optimaler Energieübertragung für die Zeiten t = 0, T/4 und T/2, wobei T die Schwingungsdauer ist. (6 BE)

f)Beschreiben Sie kurz zwei Versuche, mit denen sich die Wellennatur der Dipolstrahlung nachweisen lässt. (8 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Man entnimmt dem Schwingkreis ein Signal (z.B. indem man induktiv eine zweite Spule an die Schwingkreisspule koppelt. Das entnommene Signal wird verstärkt und phasenrichtig dem Kreis wieder zugeführt. Man nennt dieses Prinzip das Rückkopplungsprinzip. Die folgende Abbildung (nicht verlangt) zeigt dies schematisch:

b)Berechnung der Frequenz nach der Thomson-Formel:\[{f_1} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {{L_1} \cdot C} }} \Rightarrow {f_1} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {1,3 \cdot 1{0^{ - 6}} \cdot 50 \cdot 1{0^{ - 12}}} }}\frac{1}{{\sqrt {{\textstyle{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}} \over {\rm{A}}}} \cdot {\textstyle{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}} \over {\rm{V}}}}} }} \approx 20 \cdot {10^6}{\rm{Hz}}\]

c)Eine Erhöhung der Schwingkreisfrequenz kann durch Verkleinerung der Induktivität erreicht werden. Da die Induktivität in der „Frequenz-Formel“ unter der Wurzel im Nenner steht, muss L2 ein Viertel von L1 sein, damit sich die Frequenz verdoppelt.

Für die Induktivität einer langgestreckten Zylinderspule gilt\[L = {\mu _0} \cdot A \cdot \frac{{{N^2}}}{l} = {\mu _0} \cdot A \cdot \frac{N}{l} \cdot N\]Da in der letzten Beziehung die Größen μ0, A und N/l konstant sind, gilt L ~ N. Damit L2 nur ein Viertel von L1 ist, muss N2 ein Viertel von N1 sein.

 

d)Wellenlänge einer elektromagnetischen Welle mit der Frequenz  f1 = 20 MHz:\[{\lambda _1} = \frac{c}{{{f_1}}} \Rightarrow {\lambda _1} = \frac{{3,0 \cdot {{10}^8}}}{{20 \cdot {{10}^6}}}{\rm{m}} \approx 15{\rm{m}}\]Die kürzeste Länge für die optimale Abstrahlung eines Dipols ist diejenige der Grundschwingung. In diesem Fall gilt für den Abstand zweier Stromknoten:\[l = \frac{{{\lambda _1}}}{2} \Rightarrow l = \frac{{15}}{2}{\rm{m}} = 7,5{\rm{m}}\]

 

Bei der doppelten Frequenz f2 ist die Wellenlänge nur halb so groß: λ2 = λ1/2   →  λ2 = 7,5 m Eine optimale Anregung bei f2 ist möglich, wenn l ein Vielfaches von λ2/2 = 3,75 m ist. Bei einer Länge des Dipols von 7,5 m ist dies der Fall. Er schwingt bei der Frequenz f2 in der 1. Oberschwingung.

 

e)Angenommen die Ladungstrennung ist zum Zeitpunkt t = 0 optimal ausgebildet (oberstes Bild), dann kommt es in der folgenden Zeit zum Ladungsausgleich. Bei t = T/4 ist dabei der Strom am größten, bis schließlich bei t = T/2 die Ladung wieder optimal ausgebildet ist (jedoch umgekehrt wie bei t = 0).

 

f)Die Wellennatur der Dipolstrahlung lässt sich am besten durch einen Interferenzversuch nachweisen:

Nachweis durch stehende elektromagnetische Wellen vor einer Metallwand: Man bestrahlt eine Metallwand mit der Dipolstrahlung. Durch die Überlagerung der hinlaufenden und der rücklaufenden Welle kommt es zur Ausbildung einer stehenden Welle. Die Knoten und Bäuche der stehenden Welle lassen sich durch einen zweiten Dipol nachweisen.

Nachweis durch einen Doppelspaltversuch: Man lässt die Dipolstrahlung auf einen Doppelspalt treffen (Spaltabstand einige wenige Wellenlängen; Spaltbreite eine Wellenlänge oder kleiner). Von den Spalten gehen dann Kreiswellensystem aus, die zur Überlagerung kommen. In einiger Entfernung vom Doppelspalt lassen sich dann Maxima und Minima des Empfangs feststellen.