Analog zum Fall der Bestimmung des Energieinhalts des Elektrischen Feldes in einem Kondensator über den Abbau des Elektrischen Feldes soll der Energieinhalt des Magnetfelds einer Spule über den Abbau des Magnetfelds bestimmt werden.
Zu einer Spule mit Eisenkern wird eine Glühlampe parallel geschaltet. Wird der Schalter geschlossen, so fließen unterschiedlich große End-Ströme durch die Parallelzweige (je nach dem wie die ohmschen Widerstände der Spule und des Lämpchens gewählt wurden). Das Lämpchen leuchte in einer mittleren Helligkeit.
Öffnet man den Schalter, so ist nur noch ein Kreisstrom in den parallel geschalteten Elementen möglich. D.h. der Strom durch Spule und Lämpchen ist vom Betrag her gleich. Im Experiment beobachtet man, dass das Lämpchen kurzzeitig sehr hell aufleuchtet. Die Energie, welche nach Schalteröffnung das Lämpchen zum Leuchten bringt muss aus dem Magnetfeld der Spule stammen. Nach dem Abschalten der äußeren Stromquelle übernimmt die Spule allein die Rolle der Stromquelle. Solange Strom fließt, ist die elektrische Leistung dieser Quelle: \[{P_{\rm{el}}} = {U_{\rm{i}}}\left( t \right) \cdot I\left( t \right)\;\]
Mit \({U_{\rm{i}}}\left( t \right)=-L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}}\) folgt daraus
\[{P_{\rm{el}}}=-L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\]
Bezeichnet man die magnetische Energie der Spule vor dem Abschalten mit \({E_{\rm{mag,0}}}\) und mit \(E(t)\) die Energie, welche das System Spule nach außen abgibt (hier vornehmlich an die Glühlampe), so gilt aufgrund des Energieerhaltungssatzes für den zeitlichen Verlauf der magnetischen Energie \({E_{\rm{mag}}}(t)\):
\[{E_{\rm{mag}}}(t) = {E_{\rm{mag,0}}} - E(t)\quad (2)\]
Differenziert man die Gleichung (2) nach der Zeit, so folgt:
\[\frac{{d{E_{\rm{mag}}}\left( t \right)}}{{dt}} = - \frac{{dE\left( t \right)}}{{dt}}\]
Hinweis: Die zeitliche Ableitung der Konstanten \({E_{\rm{mag,0}}}\) ist Null.
Die zeitliche Ableitung von \(E(t)\) ist aber gerade die elektrische Leistung wie sie in Gleichung (1) dargestellt ist. Somit gilt:
\[\frac{{d{E_{\rm{mag}}}\left( t \right)}}{{dt}} = L\frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\quad \left( 3 \right)\]
Um die Beziehung für \({E_{\rm{mag}}}(t)\) zu erhalten muss man nach einer Funktion suchen, deren zeitliche Ableitung die rechte Seite von Gleichung (3) ergibt. Die folgende Beziehung erfüllt diese Bedingung:
\[{E_{\rm{mag}}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot {I^2}\left( t \right)\]
Hinweise:
- An sich wäre dem Ausdruck von \({E_{\rm{mag}}}(t)\) noch eine zeitunabhängige Konstante hinzuzufügen. Da aber für \(I = 0\) auch \({E_{\rm{mag}}}(t)=0\) gilt, ist der Wert der Konstanten ebenfalls Null.
- Wenn Sie die eingerahmte Lösung überprüfen wollen, müssen Sie diese nach der Zeit differenzieren, um (3) zu erhalten. Beachten Sie hierbei das "Nachdifferenzieren".
Gegenüberstellung von elektrischer Energie eines Kondensators und magnetischer Energie einer Spule
| Die elektrische Feldenergie eines Kondensators ist durch dessen Kapazität \(C\) und durch das Quadrat der am Kondensator anliegenden Spannung \(U\) bestimmt: \[{E_{\rm{el}}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\left( t \right)\] | Die magnetische Feldenergie einer Spule ist durch deren Induktivität \(L\) und durch das Quadrat des durch die Spule fließenden Stroms \(I\) bestimmt: \[{E_{\rm{mag}}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot {I^2}\left( t \right)\] |
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