Elektromagnetische Induktion

a)Berechnung des stationären Stroms \(I_0\): \[{I_0} = \frac{{{U_{bat}}}}{{{R_i}}} \Rightarrow {I_0} = \frac{{21}}{{280}}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{\Omega }}} \approx 0{,}075\,{\rm{A}}\]Berechnung der magnetischen Energie:\[{E_{mag}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2 \Rightarrow {E_{mag}} = \frac{1}{2} \cdot 630 \frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot (0{,}075 \cdot {{\rm{A}}})^2 \approx 1{,}8\,{\rm{J}}\]

b)Der Stromverlauf ist stetig, d.h. beim Abschalten ist der Strom, welcher nun nur im oberen Teil des Stromkreises in Reihenschaltung durch die Widerstände \(R_i\) und \(R'\) fließt noch \(I_0\). Damit gilt für die induzierte Spannung zu Beginn des Ausschaltens:\[{U_{ind}}(0) = {I_0} \cdot ({R_i} + R') \Rightarrow {U_{ind}}(0) = 0{,}075\,\rm{A} \cdot \left( {280 + 320} \right){\rm{\Omega}} \approx 45\,{\rm{V}}\]

c)Die Maschenregel besagt für den "Ausschaltkreis"\[{U_{ind}} = {U_{{R_i}}} + {U_{R'}} \Rightarrow {U_{ind}} = I(t) \cdot \left( {{R_i} + R'} \right) \Leftrightarrow I(t) = \frac{{{U_{ind}}}}{{{R_i} + R'}}\quad (1)\]

Setzt man in (1) in die Differentialgleichung \(U_{ind} = -L \cdot \frac{dI}{dt}\) ein, so folgt

\[I(t) =  - \frac{{L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}}}{{{R_i} + R'}} \Leftrightarrow \frac{{dI}}{{dt}} = -\frac{{I(t) \cdot \left( {{R_i} + R'} \right)}}{L}\]Für die Differentialgleichung bietet sich der folgende Lösungsansatz an: \[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{{{R_i} + R'}}{L} \cdot t}}\] mit \[{I_0} = \frac{{{U_{ind}}(0)}}{{{R_i} + R'}}\]

d) \[\begin{eqnarray} \frac{I_0}{e} &=& I_0\cdot e^{-\frac{R_i + R'}{L}\cdot \tau} \Leftrightarrow \frac{1}{e} = e^{-\frac{R_i + R'}{L}\cdot \tau} \Leftrightarrow -1 = -\frac{R_i + R'}{L}\cdot \tau \\  \tau &=& \frac{L}{R_i + R'} = \frac{630\,\rm{}\frac{V\cdot s}{A}}{280\,\rm{\Omega}+320\,\rm{\Omega}} \approx 1{,}1\,\rm{s} \end{eqnarray}\] 

e)Die elektrische Arbeit an den Widerständen muss nach dem Energiesatz genauso groß sein, wie die in Teilaufgabe a) berechnete magnetische Energie.