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Aufgabe

Magnetische Energie

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine Induktionsspule mit der Induktivität L = 630H und dem Widerstand Ri = 280Ω wird parallel zu einem ohmschen Widerstand R' = 320Ω an eine Stromquelle der Spannung Ubat = 21V angeschlossen.

a)Berechnen Sie den Energieinhalt der Spule.

b)Wie hoch ist die Induktionsspannung im Moment des Abschaltens?

c)Geben Sie die Stärke des Stroms nach dem Abschalten in Abhängigkeit von der Zeit an (Abschalten bei t = 0).

d)Nach welcher Zeit τ ist I(t) auf den Wert I0/e gefallen?

Hinweise: e ist die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 . .; L/Rges heißt Zeitkonstante der Selbstinduktion

e)Welche Stromarbeit wird ab t = 0 insgesamt verrichtet? Vergleichen Sie mit Teilaufgabe a).

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a)Berechnung des stationären Stroms I0:\[{I_0} = \frac{{{U_{bat}}}}{{{R_i}}} \Rightarrow {I_0} = \frac{{21}}{{280}}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{\Omega }}} \approx 0,075\,{\rm{A}}\]Berechnung der magnetischen Energie:\[{E_{mag}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2 \Rightarrow {E_{mag}} = \frac{1}{2} \cdot 630 \cdot 0,07{5^2}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot {{\rm{A}}^{\rm{2}}} \approx 1,8\,{\rm{J}}\]

b)Der Stromverlauf ist stetig, d.h. beim Abschalten ist der Strom, welcher durch die Widerstände Ri und R' fließt noch I0. Damit gilt für die induzierte Spannung zu Beginn des Ausschaltens:\[{U_{ind}}(0) = {I_0} \cdot ({R_i} + R') \Rightarrow {U_{ind}}(0) = 0,075 \cdot \left( {280 + 320} \right){\rm{V}} \approx 45\,{\rm{V}}\]

c)Die Maschenregel besagt für den "Ausschaltkreis"\[{U_{ind}} = {U_{{R_i}}} + {U_{R'}} \Rightarrow {U_{ind}} = I(t) \cdot \left( {{R_i} + R'} \right) \Leftrightarrow I(t) = \frac{{{U_{ind}}}}{{{R_i} + R'}}\quad (1)\]Setzt man in (1) Uind = -L·(dI/dt) ein, so folgt\[I(t) =  - \frac{{L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}}}{{{R_i} + R'}} \Leftrightarrow \frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{I(t) \cdot \left( {{R_i} + R'} \right)}}{L}\]Für die Differentialgleichung bietet sich der folgende Lösungsansatz an: \[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{{{R_i} + R'}}{L} \cdot t}}\] mit \[{I_0} = \frac{{{U_{ind}}(0)}}{{{R_i} + R'}}\]

d)\[\begin{array}{l}\frac{{{I_0}}}{e} = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{{{R_i} + R'}}{L} \cdot \tau }} \Leftrightarrow {e^{ - 1}} = {e^{ - \frac{{{R_i} + R'}}{L} \cdot \tau }} \Leftrightarrow  - 1 =  - \frac{{{R_i} + R'}}{L} \cdot \tau  \Leftrightarrow \tau  = \frac{L}{{{R_i} + R'}} \Rightarrow \\\tau  = \frac{{630}}{{280 + 320}}{\rm{s}} \approx 1,1\,{\rm{s}}\end{array}\]

e)Die elektrische Arbeit an den Widerständen muss nach dem Energiesatz genauso groß sein, wie die in Teilaufgabe a) berechnete magnetische Energie.