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Grundwissen

Ein- und Ausschalten von RL-Kreisen

Aufgaben Aufgaben

Im linken Stromkreis befindet sich eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\), ein Umschalter \(S\), ein Widerstand der Größe \(R\) und eine Spule mit der Induktivität \(L\). Die technische Stromrichtung wird durch den Pfeil verdeutlicht. Der gestrichelte Teil des Stromkreises wird beim Einschalten der Spule noch nicht benötigt.

Durch Umlegen des Umschalters ("Einschalten") wird der Stromkreis geschlossen und der Strom kann fließen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird.

Nach genügend langer Zeit fließt ein Strom mit der Stromstärke \({I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\) durch den Stromkreis. Die Stromrichtung, auf die sich im Folgenden die Darstellung von Stromstärke und Spannungen bezieht, soll nun die gleiche wie beim Einschalten sein, sie wird wieder durch den Pfeil verdeutlicht.

Der rechte Stromkreis unterscheidet sich von dem obigen dadurch, dass der Umschalter \(S\) nun umgelegt ist. Dadurch wird die zum Einschalten angeschlossene Elektrische Quelle im gestrichelten Teil des Stromkreises abgetrennt und dafür ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt ("Ausschalten"), so dass der Strom "zusammenbrechen" kann, wobei der Stromfluss wieder durch den Widerstand begrenzt wird.

Die folgende Simulation zeigt den zeitlichen Verlauf von Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_L}(t)\) über der Spule, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_L}(t)\) an der Spule sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Induktivität \(L\) der Spule in gewissen Grenzen verändert werden.

R
L
|U0|
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Abb. 2 Zeitlicher Verlauf von Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_L}(t)\) über der Spule, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_L}(t)\) an der Spule beim Ein- und beim Ausschalten eines RL-Kreises
Einschalten des RL-Kreises

Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\; ; \;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(I\) auf ca. 63% von \({I_0}\) angestiegen.

 

 

Die Spannung \(U_R(t)\) über dem Widerstand steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

 

Die Spannung \(U_L(t)\) über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_L\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_L\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Ausschalten des RL-Kreises

Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\; ; \;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

 

Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Der Betrag \(\left| U_L \right|\) der Spannung über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) =  - \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_L \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = \frac{L}{R}\) ist \(\left| U_L \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.