Abb. 1 zeigt dir die Skizze der Schaltung, mit der das Ein- und Ausschalten eines Stromkreises mit einem Widerstand und einer Spule (\(R\,L\)-Kreis) untersucht werden kann. Die Schaltskizze zeigt folgende Bauteile:
- Eine elektrische Quelle mit der Nennspannung \(U_0\) zur Versorgung des Stromkreises.
- Einen Umschalter \(\rm{S}\), mit dem zwischen zwei Maschen gewechselt werden kann.
- Einen Widerstand der Größe \(R\).
- Eine Spule der Induktivität \(L\).
- Einen Strommesser für die Stromstärke \(I\).
- Drei Spannungsmesser für die Spannungen \(U_0\), \(U_R\) und \(U_L\).
Einschaltvorgang
Beim Einschalten des Stromkreises befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der linken Position, so dass wir die "große" Masche der Schaltung ("Einschaltmasche") betrachten müssen.
Die Polung der elektrischen Quelle mit dem "+"-Pol oben und dem "-"-Pol unten legt den Zählpfeil fest, der im Uhrzeigersinn dreht. Dies ist durch den grünen Kreispfeil in der Einschaltmasche gekennzeichnet. Alle Messgeräte sind so geschaltet, dass der Zählpfeil von ihrem "+"-Pol zu ihrem "-"-Pol zeigt. Dies ist beim Strommesser und allen Spannungsmessern so gekennzeichnet.
- Während des Einschaltvorgangs zeigt der Spannungsmesser über der elektrischen Quelle einen konstanten negativen Wert (\(U_0<0\)).
- Der Strom fließt in Richtung des Zählpfeils. Der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Widerstand zeigen jeweils positive Werte (\(I>0\) und \(U_R>0\)).
- Wegen der sich vergrößernden Stromstärke induziert die Spule eine Induktionsspannung. Der Spannungsmesser über der Spule zeigt positive Werte (\(U_L>0\)). Hinweis: Wäre die Spannung über der Spule negativ, würde sie als weitere elektrische Quelle im Stromkreis wirken und den Anstieg der Stromstärke nicht behindern, sondern verstärken.
Am Ende des Einschaltvorgangs fließt durch die Schaltung ein konstanter Strom der Stärke \(I=\frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\). Man misst die Spannungen \(U_R=\left| {{U_0}} \right|\) und \(U_L=0\,\rm{V}\).
Ausschaltvorgang
Beim Ausschalten des Stromkreises befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der rechten Position, so dass wir die "kleine" Masche der Schaltung ("Ausschaltmasche") betrachten müssen.
Der Zählpfeil und die Polung aller Messgeräte bleiben wie beim Einschaltvorgang.
- Der Strom fließt weiter Richtung Zählpfeil. Der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Widerstand zeigen jeweils positive Werte (\(I<0\) und \(U_R<0\)).
- Wegen der sich verkleinernden Stromstärke induziert die Spule eine Induktionsspannung. Der Spannungsmesser über der Spule zeigt negative Werte (\(U_L<0\)). Hinweis: Damit wirkt die Spule wie eine elektrische Quelle im Stromkreis und behindert den Abfall der Stromstärke.
Am Ende des Ausschaltvorgangs fließt kein Strom mehr, die Messgeräte zeigen \(I=0\,\rm{A}\), \(U_R=0\,\rm{V}\) und \(U_L=0\,\rm{V}\).
Die folgende Simulation zeigt den zeitlichen Verlauf von Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_L}(t)\) über der Spule, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_L}(t)\) an der Spule sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Induktivität \(L\) der Spule in gewissen Grenzen verändert werden.
Einschalten des RL-Kreises
Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\; ; \;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) angestiegen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(I\) auf ca. 63% von \({I_0}\) angestiegen.
Die Spannung \(U_R(t)\) über dem Widerstand steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.
Die Spannung \(U_L(t)\) über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_L\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(U_L\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.
Ausschalten des RL-Kreises
Die Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\; ; \;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.
Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L} \cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Der Betrag \(\left| U_L \right|\) der Spannung über der Spule fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_L}(t) = - \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{R}{L}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = \frac{L}{R} \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_L \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = \frac{L}{R}\) ist \(\left| U_L \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Oszilloskopbilder
Die folgende Animation zeigt den Verlauf der Spannung \(U_0\) der elektrischen Quelle (hier als \({U_{{\rm{bat}}}}\) bezeichnet), der an der idealen Spule \(L\) anliegenden Spannung \({U_{{\rm{L}}}}\) (diese ist gegengleich zur induzierten Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) der Spule) und der Spannung \({U_{{\rm{R}}}}\) am Widerstand \(R\). Der zeitliche Verlauf von \({U_{\rm{R}}}(t)\) ist proportional zur Stromstärke \(I(t)\) im Kreis.