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Aufgabe

Induktion durch Änderung der magnetischen Feldstärke

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)

Der Erregerstrom einer Feldspule wächst innerhalb von \(20\,\rm{s}\) gleichmäßig so an, dass die magnetische Feldstärke in dieser Zeit von \(0{,}10\,\rm{T}\) auf \(1{,}00\,\rm{T}\) wächst. Im Innern der Feldspule ist koaxial zu ihr eine Induktionsspule mit \(200\) Windungen und der Querschnittsfläche von \(50\,\rm{cm}^2\) angeordnet.

Berechne die Spannung, die in der Induktionsspule induziert wird.

b)

Eine Induktionsspule mit einer Querschnittsfläche von \(1{,}0\,\rm{cm}^2\) wird senkrecht von einem homogenen magnetischen Feld durchflossen. Der Betrag der magnetischen Feldstärke wird in \(5{,}0\,\rm{s}\) von Null auf \(1{,}0\,\rm{T}\) linear erhöht, wobei eine Spannung von \(3{,}0\,\rm{mV}\) über der Induktionsspule gemessen wird.

Berechne die Windungszahl der Induktionsspule.

c)

In der Mitte einer langen zylindrischen Feldspule liegt eine kurze Induktionsspule. Die Spulenachsen verlaufen parallel. Die Induktionsspule hat \(200\) Windungen und eine Querschnittsfläche von \(3{,}0\,\rm{cm}^2\). Beim Einschalten des Feldspulenstromes, das \(1{,}0 \,\rm{ms}\) dauert, entsteht an den Enden der Induktionsspule die Induktionsspannung \(3{,}7\,\rm{V}\).

Berechne den Betrag der magnetischen Feldstärke, der bei eingeschaltetem Strom in der Feldspulenmitte herrscht.

d)

Eine kreisförmige Leiterschleife mit der Querschnittsfläche \(5{,}0\,\rm{cm}^2\) steht senkrecht zu einem magnetischen Feld der Stärke \(50\,\rm{mT}\). In der Leiterschleife soll beim Ausschalten des Feldes eine Spannung von \(3{,}0\,\rm{mV}\) induziert werden.

Berechne die Zeitspanne, in der das Feld dazu ausgeschaltet werden muss.

e)

In der Mitte einer langen zylindrischen Feldspule herrscht bei eingeschaltetem Spulenstrom ein homogenes Magnetfeld der Stärke \(225\,\rm{mT}\). In diesem Raum befindet sich eine Induktionsspule mit \(175\) Windungen. Die Achsen der Spulen fallen zusammen. Schaltet man in der Zeitspanne \(20{,}0\,\rm{ms}\) den Spulenstrom ein, so wird in der Induktionsspule eine Spannung von \(1{,}28\,\rm{V}\) induziert.

Berechne den Inhalt der von den Windungen der Induktionsspule eingeschlossenen Fläche.

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a)

Mit \(N=200\), \(\Delta B=1{,}00\,\rm{T}-0{,}10\,\rm{T}=0{,}90\,\rm{T}\), \(\Delta t=20\,\rm{s}\), \(A=50\,\rm{cm}^2=50 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) und \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke\[|U_{\rm{i}}| = N \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[|U_{\rm{i}}| = 200 \cdot \frac{0{,}90\,\rm{T}}{20\,\rm{s}} \cdot 50 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 = 4{,}5 \cdot 10^{-2}\,\rm{V}=45\,\rm{mV}\]

b)

Mit \(|U_{\rm{i}}|=3{,}0\,\rm{mV}=3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}\), \(\Delta B=1{,}0\,\rm{T}\), \(\Delta t=5{,}0\,\rm{s}\),  \(A=1{,}0\,\rm{cm}^2=1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) und \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke\[|{U_{\rm{i}}}| = N \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} \cdot A \Leftrightarrow N = \frac{{|{U_{\rm{i}}}| \cdot \Delta t}}{{\Delta B \cdot A}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[N = \frac{3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V} \cdot 5{,}0\,\rm{s}}{1{,}0\,\rm{T} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2} = 150\]

c)

Mit \(|U_{\rm{i}}|=3{,}7\,\rm{V}\), \(N=200\), \(\Delta t=1{,}0\,\rm{ms}=1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\), \(A=3{,}0\,\rm{cm}^2=3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) und \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke\[|{U_{\rm{i}}}| = N \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} \cdot A \Leftrightarrow \Delta B = \frac{{|{U_{\rm{i}}}| \cdot \Delta t}}{{N \cdot A}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta B = \frac{3{,}7\,\rm{V} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}}{200 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2} = 0{,}062\,\rm{T} = 62\,\rm{mT}\]Da der Betrag der magnetischen Feldstärke vor dem Einschalten \(0\,\rm{T}\) betrug, ist der gesuchte Betrag der magnetischen Feldstärke nach dem Einschalten \(B=62\,\rm{mT}\).

d)

Mit \(|U_{\rm{i}}|=3{,}0\,\rm{mV}=3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}\), \(N=1\), \(\Delta B=50\,\rm{mT}=50 \cdot 10^{-3}\,\rm{T}\), \(A=5{,}0\,\rm{cm}^2=5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) und \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke\[|{U_{\rm{i}}}| = N \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} \cdot A \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{N \cdot \Delta B \cdot A}}{{|{U_{\rm{i}}}|}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta t = \frac{1 \cdot 50 \cdot 10^{-3}\,\rm{T} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2}{3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}} = 8{,}3 \cdot 10^{-3}\,\rm{s} = 8{,}3\,\rm{ms}\]

e)

Mit \(|U_{\rm{i}}|=1{,}28\,\rm{V}\), \(N=175\), \(\Delta B=225\,\rm{mT}=0{,}225\,\rm{T}\), \(\Delta t=20{,}0\,\rm{ms}=20{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) und \(\varphi=0\) und damit \(\cos \left(\varphi\right)=1\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der Induktionsspannung bei Änderung der magnetischen Feldstärke\[|{U_{\rm{i}}}| = N \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} \cdot A \Leftrightarrow A = \frac{{|{U_{\rm{i}}}| \cdot \Delta t}}{{N \cdot \Delta B}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[A = \frac{1{,}28\,\rm{V} \cdot 20{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}}{175 \cdot 0{,}225\,\rm{T}} = 6{,}50 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 = 6{,}50\,\rm{cm}^2\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion