Die Parabelmethode von Joseph John (J.J.) THOMSON (1856 - 1940) ist eine der ersten genaueren Methoden mit denen es gelang die spezifische Ladung von geladenen Teilchen zu bestimmen (1912).
Durch eine elektrische Entladung gelang es sogenannte "Kanalstrahlen" zu erzeugen. Dies sind positive Ionen, die durch ein Loch in der Kathode der Ionenquelle in das Vakuum gelangen. Dort treffen Sie in eine Anordnung, bei der das elektrische und das magnetische Feld parallel bzw. antiparallel sind.
In der untenstehenden Rechnung zeigen wir, dass Ionen mit gleicher spezifischer Ladung am Auffängerschirm auf einem Parabelast landen. Durch Ausmessen dieser Parabel lässt sich die spezifische Ladung der Ionen, aber auch des Elektrons bestimmen. Auch dies zeigen wir weiter unten.
Das Ziel der folgenden Rechnung ist es, einen Term herzuleiten, mit dem aus leicht messbaren Größen die spezifische Ladung \(\frac{q}{m}\) von Teilchen bestimmt werden kann.
Wir betrachten in Abb. 1 ein geladenes Teilchen (Masse \(m\), Ladung \(q\)), dass mit einer Geschwindigkeit \(v_z\) in \(z\)-Richtung in den von den Feldern durchsetzten Raum eintritt. Wie wir später sehen werden müssen wir die Geschwindigkeit \(v_z\) für die Berechnung von \(\frac{q}{m}\) gar nicht kennen.
Bestimmung der Ablenkung in \(y\)-Richtung durch das elektrische Feld
Wie in Abb. 3 gezeigt lenkt das elektrische Feld (Feldstärke \(E\)) das Teilchen im felderfüllten Raum in \(y\)-Richtung ab. Der Betrag der elektrischen Kraft auf das Teilchen ist hierbei konstant und das Teilchen bewegt sich in der \(z\)-\(y\)-Ebene auf einer Parabelbahn.
Im feldfreien Raum dahinter bewegt sich das Teilchen auf einer Geraden.
Die Ablenkung \(y_0\) auf dem Schirm in \(y\)-Richtung ist die Summe der Streckenlängen \(y_1\) und \(y_2\).
Berechnung der Streckenlänge \(y_1\)
In \(z\)-Richtung bewegt sich das Teilchen gleichförmig mit der Geschwindigkeit \(v_z\) und durchläuft die Strecke mit der Länge \(l\) in der Zeitspanne\[t_1 = \frac{l}{v_z} \quad (1)\]In \(y\)-Richtung bewegt sich das Teilchen gleichmäßig beschleunigt, gewinnt in der Zeitspanne \(t_1\) in \(y\)-Richtung die Geschwindigkeit\[v_y = a_y \cdot t_1 \quad (2)\]und legt in der Zeitspanne \(t_1\) die Streckenlänge \(y_1\) zurück:\[y_1 = \frac{1}{2} \cdot {a_y} \cdot t_1^2 \quad (3)\]
Berechnung der Streckenlänge \(y_2\)
In \(z\)-Richtung bewegt sich das Teilchen weiterhin gleichförmig und durchläuft die Strecke mit der Länge \(s\) in der Zeitspanne\[t_2 = \frac{s}{v_z} \quad (4)\]Auch in \(y\)-Richtung bewegt sich das Teilchen jetzt gleichförmig mit der Geschwindigkeit \(v_y\) und legt in der Zeitspanne \(t_2\) die Streckenlänge \(y_2\) zurück:\[y_2 = v_y \cdot t_2 \underbrace = _{(2)} a_y \cdot t_1 \cdot t_2 \quad(5)\]
Berechnung der Streckenlänge \(y_0\)
Damit ergibt sich\[y_0 = {y_1} + {y_2}\underbrace = _{(3)\;;\;(5)}\frac{1}{2} \cdot {a_y} \cdot t_1^2 + {a_y} \cdot {t_1} \cdot {t_2} = {a_y} \cdot {t_1} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot {t_1} + {t_2}} \right)\]Mit \(a_y = \frac{F_{\rm{el}}}{m} = \frac{q \cdot E}{m}\) und den Gleichungen \((1)\) und \((4)\) ergibt sich\[y_0 = \frac{{q \cdot E}}{m} \cdot \frac{l}{{{v_z}}} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{l}{{{v_z}}} + \frac{s}{{{v_z}}}} \right) = \frac{{q \cdot E \cdot {l}}}{{m \cdot v_z^2}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right) \quad(6)\]
Bestimmung der Ablenkung in \(x\)-Richtung durch das magnetische Feld
Wie in Abb. 4 gezeigt lenkt das magnetische Feld (Feldstärke \(B\)) das Teilchen im felderfüllten Raum in der \(z\)-\(x\)-Ebene ab. Der Betrag der LORENTZ-Kraft auf das Teilchen ist aber nicht konstant:
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Aufgrund der (kleinen) Ablenkung in \(y\)-Richtung ändert sich der Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und Magnetfeld (er wird kleiner) und damit der Betrag der LORENTZ-Kraft (sie wird kleiner).
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Aufgrund der Beschleunigung in \(y\)-Richtung ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit (er wird größer) und damit der Betrag der LORENTZ-Kraft (sie wird größer).
Weil diese beiden Effekte aber klein sind und auch entgegengesetzt wirken, wollen wir den Betrag der LORENTZ-Kraft als konstant annehmen. Damit bewegt sich das Teilchen in der \(z\)-\(x\)-Ebene auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\).
Im feldfreien Raum dahinter bewegt sich das Teilchen auf einer Geraden.
Die Ablenkung \(x_0\) auf dem Schirm in \(x\)-Richtung ist die Summe der Streckenlängen \(x_1\) und \(x_2\).
Berechnung der Streckenlänge \(x_1\)
Im rechtwinkligen Dreieck \({\rm{MAB}}\) gilt der Satz des PYTHAGORAS\[\begin{eqnarray}{\left( {r - {x_1}} \right)^2} + {l^2} &=& {r^2}\\{r^2} - 2 \cdot r \cdot {x_1} + x_1^2 + {l^2} &=& {r^2}\\ - 2 \cdot r \cdot {x_1} + x_1^2 + {l^2} &=& 0 \quad(7)\end{eqnarray}\]Nun ist die Streckenlänge \(x_1\) und erst das Quadrat \(x_1^2\) sehr klein gegenüber den anderen Größen; deshalb vernachlässigen wir diesen Term in Gleichung \((7)\) und erhalten\[\begin{eqnarray} - 2 \cdot r \cdot {x_1} + {l^2} &=& 0\\{x_1} &=& \frac{{{l^2}}}{{2 \cdot r}}\quad(8)\end{eqnarray}\]
Berechnung der Streckenlänge \(x_2\)
Im rechtwinkligen Dreieck \({\rm{MAB}}\) gilt\[\sin\left( \alpha \right) = \frac{l}{r}\quad(9)\]und im ähnlichen rechtwinkligen Dreieck \({\rm{BCP}}\)\[\tan\left( \alpha \right) = \frac{{{x_2}}}{s}\quad(10)\]Mit der Kleinwinkelnäherung \(\sin\left( \alpha \right) \approx \tan\left( \alpha \right)\) für kleine Winkelweiten \(\alpha\) ergibt sich aus den Gleichungen \((9)\) und \((10)\)\[\begin{eqnarray}\frac{l}{r} &=& \frac{{{x_2}}}{s}\\{x_2} &=& \frac{{l \cdot s}}{r}\quad(11)\end{eqnarray}\]
Berechnung der Streckenlänge \(x_0\)
Damit ergibt sich\[{x_0} = {x_1} + {x_2}\underbrace = _{(8)\;;\;(11)}\frac{{{l^2}}}{{2 \cdot r}} + \frac{{l \cdot s}}{r} = \frac{l}{r} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)\]Mit der bekannten Formel \(r = \frac{{m \cdot {v_z}}}{{q \cdot B}}\) für den Radius der Kreisbahn im Magnetfeld ergibt sich\[{x_0} = \frac{l}{{\frac{{m \cdot {v_z}}}{{q \cdot B}}}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right) = \frac{{q \cdot B \cdot l}}{{m \cdot {v_z}}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right) \quad (12)\]
Bestimmung der Parabel auf dem Schirm
Nun arbeiten wir mit einem mathematischen Trick weiter. Wir erweitern den Term für \(y_0\) in Gleichung \((6)\) so geschickt, dass in ihm der Term für \(x_0\) in Gleichung \((12)\) zu erkennen ist:\[\begin{eqnarray}{y_0} &=& \frac{{q \cdot E \cdot {l}}}{{m \cdot v_z^2}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)\\ &=& \frac{{m \cdot q \cdot {B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}}{{m \cdot q \cdot {B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}} \cdot \frac{{q \cdot E \cdot {l}}}{{m \cdot v_z^2}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)\\ &=& \frac{{m \cdot E}}{{q \cdot {B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}} \cdot \frac{{{q^2} \cdot {B^2} \cdot {l^2}}}{{{m^2} \cdot v_z^2}} \cdot {\left( {\frac{l}{2} + s} \right)^2}\\ &=& \frac{{m \cdot E}}{{q \cdot {B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}} \cdot { {\underbrace {\left(\frac{{q \cdot B \cdot l}}{{m \cdot {v_z}}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)\right)}_{ = \;{x_0}}} ^2}\\ &=& \frac{{m \cdot E}}{{q \cdot {B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}} \cdot x_0^2\end{eqnarray}\]An dieser Gleichung kannst du erkennen, dass alle Auftreffpunkte auf dem Schirm auf einer Parabel liegen - wo ein Teilchen genau auftrifft hängt von dessen Anfangsgeschwindigkeit ab (vgl. die Gleichungen \((6)\) und \((12)\)). Auflösen dieser Gleichung nach \(\frac{q}{m}\) liefert\[\frac{q}{m} = \frac{E}{{{B^2} \cdot l \cdot \left( {\frac{l}{2} + s} \right)}} \cdot \frac{{x_0^2}}{{{y_0}}}\]Alle Größen auf der rechten Seite dieser Gleichung sind leicht messbar, so dass mit ihnen die spezifische Ladung \(\frac{q}{m}\) von Teilchen berechnet werden kann.
Simulationsprogramm (JAVA-Applet, nur noch begrenzt lauffähig)
In diesem Java-Applet von Peter Kraus kann man mit den Schiebern folgendes festlegen:
- Stärke des Magnetfeldes (B)
- Stärke des elektrischen Feldes (E)
- Massendifferenz zweier Teilchen
- Geschwindigkeitsintervall der Teilchen
Ein Zufallsgenerator erzeugt zu zwei verschiedenen Massen jeweils 30 Teilchen unterschiedlicher Geschwindigkeit. Diese werden durch die Felder in x und y-Richtung abgelenkt und treffen auf den Schirm. Die Flugbahnen erscheinen für kurze Zeit auf dem Monitor. Die Auftreffpunkte in der Ebene rechts werden registriert. Durch den Button "Schirm" kann diese Ebene unverzerrt betrachtet werden. Die Auftreffpunkte liegen auf Parabeln.
Beachte, dass bei diesem Applet das Magnetfeld und das elektrische Feld - im Gegensatz zur obigen Zeichnung - gleich orientiert sind.