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Aufgabe

Massenspektrograph von THOMSON (Abitur BY 1994 LK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein feiner Strahl positiv geladener Ionen (Ladung \(Q\)) tritt senkrecht zu den Feldlinien in das elektrische Feld eines Plattenkondensators ein, der sich zwischen den Polen eines Magneten befindet. Das elektrische Feld (Feldstärke \(\vec E\)) und das magnetische Feld (Flussdichte \(\vec B\)) werden als homogen angesehen. Der Plattenkondensator hat die Länge \(L\). Die Ionen unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Masse m und des Betrags ihrer Eintrittsgeschwindigkeit \(v_0\) (\({v_0} \ll c\)). Am Ende des Kondensators treffen die Ionen auf eine Nachweisplatte auf. Ohne Felder würden sich die Teilchen längs der \(x\)-Achse des Koordinatensystems bewegen.

a)Zunächst soll bei ausgeschaltetem Magnetfeld der Einfluss des elektrischen Feldes untersucht werden.

Berechne die \(z\)-Ablenkung für die auf der Nachweisplatte auftreffenden Ionen allgemein in Abhängigkeit von den genannten Größen. [zur Kontrolle: \(z = \frac{{Q \cdot E \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot v_0^2}}\) ] (10 BE)

 

Nun soll bei ausgeschaltetem elektrischen Feld die Ablenkung durch das Magnetfeld untersucht werden. Die Ionen durchlaufen in der \(x\)-\(y\)-Ebene einen Kreisbogen mit dem Radius \(r\).

b)Erkläre, warum sich ein Kreisbogen ergibt. (5 BE)

c)Berechne für die auf der Nachweisplatte auftreffenden Ionen die \(y\)-Ablenkung allgemein in Abhängigkeit von den genannten Größen.  Zeige dazu, dass \(2 \cdot r \cdot y = {y^2} + {L^2}\) gilt, und verwende \(y \ll L\). [zur Kontrolle: \(y = \frac{{Q \cdot {\rm B} \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot v_0^{}}}\)] (12 BE).

Nun wirken beide Felder gleichzeitig auf die Ionen. Der geringe Einfluss des Magnetfelds auf die in Teilaufgabe a) berechnete \(z\)-Ablenkung darf im folgenden vernachlässigt werden.

d)Begründe, dass das elektrische Feld keinen Einfluss auf die in Teilaufgabe c) berechnete \(y\)-Ablenkung hat. (8 BE)

Unter dem Einfluss beider Felder liegen die Auftreffpunkte von Ionen gleicher Ladung und gleicher Masse, aber unterschiedlicher Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) auf einem Parabelbogen.

e)Zur Untersuchung eines Gemisches einfach positiv geladener Chlor-Ionen werden ein Kondensator der Länge \(L = 40\rm{cm}\) und Felder mit \(E = 1,4 \cdot {10^4}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\) und \(B = 3,0 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{T}}\) verwendet. Die Auftreffpunkte der Ionen eines bestimmten Chlor-Isotops liegen auf einem Parabelbogen durch den Punkt \({\rm{P}}\left( {y|z} \right)\) mit \(y = 1,9\rm{cm}\) und \(z = 2,7\rm{cm}\).

Entscheide durch Rechnung, um welches Chlor-Isotop es sich handelt. (16 BE)

 

f)Die nebenstehende Aufnahme zeigt zwei Parabelbögen von einfach positiv geladenen Ionen.

Erläutere. warum die Bögen nicht bis in den Koordinatenursprung reichen.

Erkläre, welcher Bogen zur größeren Ionenmasse gehört. (10 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)In \(x\)-Richtung bewegen sich die Ionen gleichförmig mit\[x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\quad(1)\]In \(z\)-Richtung werden die Ionen gleichmäßig beschleunigt mit\[z = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\quad(2)\]Dabei erhält man die Beschleunigung \(a\) durch\[m \cdot a = {F_{{\rm{el}}}} = Q \cdot E \Leftrightarrow a = \frac{{Q \cdot E}}{m}\quad(3)\]Einsetzen von \((1)\) und \((3)\) in \((2)\) liefert\[z = \frac{1}{2} \cdot \frac{{Q \cdot E}}{m} \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} = \frac{{Q \cdot E \cdot {x^2}}}{{2 \cdot m \cdot v_0^2}}\]und mit \(x=L\) erhält man\[z = \frac{{Q \cdot E \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot v_0^2}} \quad (4)\]

b)Da \(\vec v\) senkrecht zu \(\vec B\) steht \(\vec B\) homogen ist, wirkt die LORENTZ-Kraft stets senkrecht zu \(\vec v\) und bleibt gleich groß, damit ist sie Zentripetalkraft.

c)Nach dem Satz des PYTHAGORAS im gezeichneten rechtwinkligen Dreieck gilt\[{\left( {r - y} \right)^2} + {L^2}\; = {r^2} \Leftrightarrow {L^2} = {r^2} - {\left( {r - y} \right)^2}  \Leftrightarrow {L^2} = 2 \cdot r \cdot y - {y^2}\]Da \({y \ll L}\) kann man \({ - {y^2}}\) vernachlässigen und erhält\[{L^2} \approx 2 \cdot r \cdot y \Rightarrow y \approx \frac{{{L^2}}}{{2 \cdot r}}\]Da die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt, erhält man\[Q \cdot v_0 \cdot B = \frac{{m \cdot {v_0^2}}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot v_0}}{{Q \cdot B}}\]und schließlich\[y = \frac{{Q \cdot B \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot {v_0}}} \quad (5)\]

d)Die Bewegung durch das Magnetfeld läuft ausschließlich in der \(x\)-\(y\)-Ebene ab, eine Beschleunigung in \(z\)-Richtung, wie durch das E-Feld bedingt, hat darauf keinen Einfluss.

e)Aus den in a) und c) erhaltenen Gleichungen eliminieren wir \(v_0\), indem wir \((5)\) nach \(v_0\) auflösen\[y = \frac{{Q \cdot B \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot {v_0}}} \Leftrightarrow {v_0} = \frac{{Q \cdot B \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot y}}\]und das Ergebnis in \((4)\) einsetzen:\[z = \frac{{Q \cdot E \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot {{\left( {\frac{{Q \cdot B \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot y}}} \right)}^2}}} = \frac{{Q \cdot E \cdot {L^2}}}{{2 \cdot m \cdot {Q^2} \cdot {B^2} \cdot {L^4}}} \cdot 4 \cdot {m^2} \cdot {y^2} = \frac{{2 \cdot E \cdot m \cdot {y^2}}}{{Q \cdot {B^2} \cdot {L^2}}}\quad(6)\]Auflösen nach \(m\) liefert dann\[m = \frac{{z \cdot Q \cdot {B^2} \cdot {L^2}}}{{2 \cdot E \cdot {y^2}}} \Rightarrow m = 6,2 \cdot {10^{ - 26}}{\rm{kg}} = 37 \cdot u\]Es handelt sich also um das \({}^{37}{\rm{Cl}}\)-Isotop.

f)Löst man Gleichung \((6)\) nach \(y\) auf, so ergibt sich die Parabelgleichung\[z = \frac{{2 \cdot E \cdot m}}{{Q \cdot {B^2} \cdot {L^2}}} \cdot {y^2}\]Da die \(y\)- und die \(z\)-Ablenkung von Null verschieden sind, beginnen die Bögen nicht Ursprung. Aus der Geometrie der Parabel schließt man, dass ein größeres \(m\) einen größere Öffnungsfaktor bewirkt und damit zum oberen Bogen gehört.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern