In einem Plattenkondensator (Plattenabstand \(d = 10\,\rm{cm}\)) befindet sich bei \(\rm{Q}\) eine Protonenquelle. Die Austrittsgeschwindigkeit der Protonen ist so klein, dass sie im folgenden nicht zu berücksichtigen ist.
Die ganze Anordnung befindet sich im Vakuum. Die Protonen erfahren im homogenen elektrischen Feld des Kondensators die Kraft \(F = 8{,}0 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\).
a)Berechne die Spannung \(U\) zwischen den Platten des Kondensators. (5 BE)
b)Berechne, mit welcher Geschwindigkeit die Protonen eine kleine Öffnung bei \(\rm{L}\) durchfliegen. [zur Kontrolle: \(v = 9{,}8 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)] (6 BE)
c)Berechne die Flugzeit der Protonen zwischen \(\rm{Q}\) und \(\rm{L}\). (6 BE)
Die Protonen gelangen durch das Loch bei \(\rm{L}\) in das homogene magnetische Feld (vgl. Skizze) der Flussdichte \(B = 0{,}50\,{\rm{T}}\), das an die rechte Kondensatorplatte unmittelbar anschließt und dessen Feldlinien senkrecht zur bisherigen Flugrichtung der Protonen stehen.
d)Berechne den Radius der Kreisbahn, auf der sich die Protonen nun bewegen.
Erläutere, warum die Protonen im Magnetfeld ihre kinetische Energie beibehalten. (8 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die gesuchte Spannung \(U\) ergibt sich durch\[{F = q \cdot E = e \cdot \frac{U}{d} \Leftrightarrow U = \frac{{F \cdot d}}{e} \Rightarrow U = \frac{{8{,}0 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}} \cdot 0{,}10\,{\rm{m}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 5{,}0 \cdot 10^3\,{\rm{V}}}\]
b)Die kinetische Energie, die im Kondensator auf ein Proton übertragen wird, muss die vom elektrischen Feld gelieferte Energie sein. Ein nichtrelativistischer Ansatz ergibt\[{{E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot U \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = e \cdot U \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot \frac{e}{m} \cdot U} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot \frac{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}}}}{{1{,}7 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} \cdot 5{,}0 \cdot {{10}^3}{\mkern 1mu} {\rm{V}}} = 9{,}8 \cdot {10^5}{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)Die Protonen erfahren eine konstante Beschleunigung. In diesem Fall gilt\[{v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a} = \frac{v}{\frac{F}{m}} = \frac{{v \cdot m}}{F} \Rightarrow t = \frac{{9{,}8 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}7 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}}{{8{,}0 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}}}} = 2{,}0 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{s}}}\]
d)Auf der beschriebenen Kreisbahn wirkt die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft. Damit ergibt sich\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Rightarrow r = \frac{{m \cdot v}}{{e \cdot B}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r = \frac{{1{,}7 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8 \cdot {{10}^5}{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\mkern 1mu} {\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot 0{,}50{\mkern 1mu} {\rm{T}}}} = 2{,}0 \cdot {10^{ - 2}}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\]Eine kinetische Energie ändert sich nur, wenn eine Kraft parallel zur Bewegungsrichtung wirkt. Die LORENTZ-Kraft verhält sich aber stets so, dass sie senkrecht zur Bewegung der geladenen Teilchen steht. Es wird also lediglich deren Bewegungsrichtung verändert, jedoch nicht der Betrag der Geschwindigkeit auf der Bahn und damit auch nicht die kinetische Energie.
