b)In dem Ausdruck für \(T\) kommt der Radius nicht mehr vor. Für Geschwindigkeiten \(v<0{,}1 \cdot c\) kann man von einer konstanten Masse ausgehen, so dass sich auch für \(T\) eine Konstante ergibt.
c)Für die kinetische Teilchenenergie gilt im nichtrelativistischen Fall\[{E_{\rm{kin}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\quad (2)\]Aus \((1)\) erhält man für \(v\)\[v = \frac{{r \cdot q \cdot B}}{m}\quad (3)\]Setzt man \((3)\) in \((2)\) ein, so folgt\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\frac{{r \cdot q \cdot B}}{m}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{r^2} \cdot {q^2} \cdot {B^2}}}{m}\]Einsetze der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {0{,}50\,{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A}}\,{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {0{,}40\,{\rm{T}}} \right)}^2}}}{{1{,}67 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} = 3{,}1 \cdot {10^{ - 13}}\,{\rm{J}} = 1{,}9\,{\rm{MeV}}\]
d)Pro Umlauf wird zweimal die Spannung \(U_0\) durchlaufen, d.h. es wird die Energie \(\Delta E = 2 \cdot e \cdot U_0\) gewonnen. Somit ist \(\Delta E = 2 \cdot 10^4\,\rm{eV}\). Für die Zahl \(N\) der Umläufe gilt dann\[N = \frac{{E_{\rm{kin}}}}{{\Delta E}} \Rightarrow N = \frac{1{,}9 \cdot 10^6}{2{,}0 \cdot 10^4} \approx 100\]
