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Aufgabe

Linearbeschleuniger am LHC

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein Teilchenbeschleuniger am Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf. In einem \(26{,}659\,\rm{km}\) langen Ringtunnel, der sich in \(50 - 175\,\rm{m}\) Tiefe unter der Erde befindet, bewegen sich Protonen mit unvorstellbar hohen Geschwindigkeiten. Auf diese Geschwindigkeiten werden die Protonen auch durch elektrische Felder in Linearbeschleunigern gebracht.

In der Protonenquelle werden Protonen durch Ionisation von Wasserstoff isoliert und anschließend in einem elektrischen Feld beschleunigt. Die angelegte Spannung beträgt \(90000\,\rm{V}\), das Feld soll vereinfacht als homogen angesehen werden.

a)Erläutere, wie die Anordnung gepolt sein muss, um die Protonen beschleunigen zu können.

b)Berechne den Betrag der Elektrischen Feldstärke, wenn der Abstand von Anode und Kathode \(30\,\rm{cm}\) beträgt.

c)Berechne den Betrag der Kraft, die auf ein Proton während der Beschleunigung wirkt.

Berechne auch die Beschleunigung, der das Proton dabei ausgesetzt ist.

d)Berechne die Geschwindigkeit, die das Proton beim Austritt aus der Protonenquelle erreicht. Gib diese Geschwindigkeit auch in der Einheit \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) sowie in Prozent der Lichtgeschwindigkeit an.

Nach dem Austritt aus der Protonenquelle treten die Protonen in den nächsten Linearbeschleuniger, den sogenannten RFQ ein. Diesen verlassen sie mit einer Geschwindigkeit von \(4{,}0\%\) der Lichtgeschwindigkeit.

e)Berechne die kinetische Energie der Protonen beim Austritt aus dem RFQ.

f)Berechne, welche Spannung die Protonen im RFQ durchlaufen müssen, um auf diese Endgeschwindigkeit zu kommen.

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a)Die Protonen müssen im Bereich der positiv geladenen Anode starten und zur negativ geladenen Kathode hin beschleunigt werden.

b)Für den Betrag der Elektrischen Feldstärke erhält man\[U = E \cdot d \Leftrightarrow E = \frac{U}{d} \Rightarrow E = \frac{{90000{\rm{V}}}}{{0,30{\rm{m}}}} = 300000\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

c)Für den Betrag der Elektrischen Kraft erhält man\[F = q \cdot E \Rightarrow F = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 300000\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} = 4,8 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{N}}\]Für die Beschleunigung erhält man\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow a = \frac{{4,8 \cdot {{10}^{ - 14}}{\rm{N}}}}{{1,7 \cdot {{10}^ - }^{27}{\rm{kg}}}} = 2,8 \cdot {10^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

d)Aus der Energieerhaltung\[{E_{{\rm{el}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{m}} \]erhält man durch Einsetzen der gegebenen Größen\[v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 90000{\rm{V}}}}{{1,7 \cdot {{10}^ - }^{27}{\rm{kg}}}}}  = 4,1 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,1 \cdot {10^6} \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 1,5 \cdot {10^7}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Dies sind\[p\%  = \frac{{4,1 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,14 = 1,4\% \]der Lichtgeschwindigkeit.

e)Für die kinetische Energie erhält man\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1,7 \cdot {10^ - }^{27}{\rm{kg}} \cdot {\left( {0,040 \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1,2 \cdot {10^{ - 13}}{\rm{J}}\]

f)Um die kinetische Energie aus Teilaufgabe e) zu erreichen muss das Proton insgesamt die Spannung \(U\) durchlaufen. Diese ergibt sich zu\[{E_{{\rm{el}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow e \cdot U = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow U = \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{e} \Rightarrow U = \frac{{1,2 \cdot {{10}^{ - 13}}{\rm{J}}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 750000{\rm{V}}\]Da die Protonen in der Protonenquelle bereits eine Spannung von \({90000{\rm{V}}}\) durchlaufen haben, müssen sie im RFQ noch eine Spannung von \(750000{\rm{V}} - 90000{\rm{V}} = 660000{\rm{V}}\) durchlaufen.