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Aufgabe

Teilchen im elektrischen Längsfeld

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit aus der Heizwendel H austretenden Elektronen werden im homogen angenommenen Feld zwischen H und der Platte P beschleunigt.

a)Welche Beschleunigung erfährt ein Elektron zwischen H und P, wenn U1 = 1,0kV und d1 = 5,0cm ist? Drücken Sie diese Beschleunigung als Vielfaches von der Erdbeschleunigung aus.

b)Wie lange braucht ein Elektron, um die Strecke d1 zurückzulegen, und welche Geschwindigkeit hat es bei P? Geben Sie die Energie des Elektrons bei P in eV an.

c)Durch ein Loch in der Platte P können die Elektronen in das zwischen P und Q herrschende Gegenfeld eintreten.

In welcher Entfernung von P kehren die Elektronen um, wenn die Spannung U2 = 1,2kV und d2 = 8,0cm beträgt?

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a)In positive x-Richtung liegt eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vor:\[a_x = \frac{e \cdot E_1}{m}      \Rightarrow      a_x = \frac{e}{m} \cdot \frac{U_1}{d_1}      \Rightarrow      a_x = 1,76 \cdot 10^{11} \cdot \frac{1,0 \cdot 10^3}{0,050}\frac{As}{kg} \cdot \frac{V}{m}\]\[a_x = 3,5 \cdot 10^{15} \frac{J}{kg \cdot m} = 3,5 \cdot 10^{15} \frac{m}{s^2}      \Rightarrow     a_x = 3,6 \cdot 10^{14} \cdot g\]Hinweis: Anstelle die Werte von e und m separat in die Formel einzusetzen, ist es schneller, wenn man aus der Formelsammlung den Wert für die spezifische Ladung des Elektrons entnimmt.

b)Berechnung der Zeit aus dem Zeit-Orts-Gesetz für die konstant beschleunigte Bewegung:\[x_1(t) =\frac{1}{2} \cdot a_x \cdot t_1^2    \Rightarrow     t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot x_1}{a_x}}      \Rightarrow      t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,050}{3,5 \cdot 10^{15}}}s \approx 5,3 \cdot 10^{-9} s\]Berechnung der Geschwindigkeit aus der kinematischen Formel:\[v_{x,1} = a_x \cdot t_1      \Rightarrow      v_{x,1} = 3,5 \cdot 10^{15} \cdot 5,3 \cdot 10^{-9} \frac{m}{s} = 1,9 \cdot 10^7 \frac{m}{s}\]Berechnung der Geschwindigkeit aus dem Energiesatz (potentielle Energie des Elektrons bei H wird in kinetische Energie bei P umgewandelt):\[E_{\text{kin,1}} = e \cdot U_1       \Rightarrow      \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{x,1}^2 = e \cdot U_1      \Rightarrow     v_{x,1} = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_1}{m}}\]\[v_{x,1} = \sqrt{2 \cdot 1,76 \cdot 10^{11} \cdot 1,0 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{As \cdot V}{kg}} = \sqrt{3,52 \cdot 10^{14}} \sqrt{\frac{m^2}{s^2}} = 1,9 \cdot 10^7 \frac{m}{s}\]Nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von 1,0 kV besitzt das Elektron die kinetische Energie von \(1,0 \text{keV} = 1,0 \cdot 10^3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} J = 1,6 \cdot 10^{-16}J\).

c)Bis zum Umkehrpunkt U wird die kinetische Energie, die das Elektron bei P hatte in potenzielle Energie umgewandelt:\[E_{\text{kin,1}} = E_{pot,u}     \Rightarrow      E_{\text{kin,1}} = F_{el} \cdot x       \Rightarrow      E_{\text{kin,1}} =  e \cdot E_2 \cdot x \]\[E_{\text{kin,1}} = e \cdot \frac{U_2}{d_2} \cdot x      \Rightarrow      x = \frac{E_{\text{kin,1}} \cdot d_2}{e \cdot U_2}      \Rightarrow      x = \frac{1,0 \cdot 10^3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,080}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 1,2 \cdot 10^3} m \approx 6,7cm\]