Quantenmech. Atommodell

Wählt man als Energienullpunkt den Zustand mit \(n_1 = 1\), so folgt mit\[{\Delta {E_{{n_2} \to {n_1}}} = {R_\infty} \cdot h \cdot c\left( {\frac{1}{{{n_1}^2}} - \frac{1}{{{n_2}^2}}} \right)}\]und \({{n_1} = 1}\) und \({{n_2} = n}\)\[{{E_n} - {E_1} = {R_\infty} \cdot h \cdot c\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}\]und mit \({{E_1} = 0}\)\[{{E_n} = {R_\infty} \cdot h \cdot c\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}\]

Für \(n = 1\): \({E_1} = 0{\rm{eV}}\)

Für \(n = 2\): \({E_2} = 13,6{\rm{eV}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) = 10,2{\rm{eV}}\)

Für \(n = 3\): \({E_3} = 13,6{\rm{eV}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) = 12,1{\rm{eV}}\)

Für \(n = \infty \): \({E_\infty } = {E_{{\rm{Ion}}}} = 13,6{\rm{eV}}\)

Bei der BALMER-Serie gilt \(n_1 = 2\). Die größte Wellenlänge ergibt sich für \(n_2 = 3\)\[{\frac{1}{{{\lambda _{\max }}}} = 1,0968 \cdot {{10}^7} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}} = 1,0968 \cdot {{10}^7} \cdot 0,1389\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}} \Rightarrow {\lambda _{\max }} = 656 {\rm{nm}}}\]die kleinste Wellenlänge für \({n_2} = \infty \)\[{\frac{1}{{{\lambda _{\min }}}} = 1,0968 \cdot {{10}^7} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - 0} \right)\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}} = 1,0968 \cdot {{10}^7} \cdot 0,25\frac{1}{m} \Rightarrow {\lambda _{\min }} = 365 {\rm{nm}}}\]Die Wellenlängen der Balmer-Serie liegen zwischen \({365{\rm{nm}}}\) und \({656{\rm{nm}}}\).

Die größte Wellenlänge der LYMAN-Serie (\(n_1 = 1\)) ergibt sich für \(n_2 = 2\):\[\frac{1}{{{\lambda _{\max }}}} = {R_\infty} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) = \frac{3}{4} \cdot {R_\infty} \Rightarrow {\lambda _{\max }} = 122{\rm{nm}}\]Die Wellenlänge \(122{\rm{nm}}\) liegt im UV-Bereich, die Wellenlängen der anderen Linien der LYMAN-Serie sind kürzer liegen also erst recht im UV-Bereich.

Die HEISENBERGsche Unschärferelation \(\Delta x \cdot \Delta {p_x} \ge \frac{h}{{2 \cdot \pi }}\) besagt, dass Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig nicht beliebig genau bestimmt werden können.

Beim BOHRschen Atommodell geht man von definierten Kreisbahnen der Elektronen um den Kern aus. Dies ist nach der HEISENBERGschen Unschärferelation nicht zulässig.

Beim quantenmechanische Atommodell befinden sich die Elektronen in den Orbitalen. Hier geht man nicht von definierten Bahnen, sondern von Räumen aus, in denen sich die Elektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aufhalten.