Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Wasserstofflinien (Abitur BY 1991 LK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)Ermittle durch Rechnung, wie viele Linien der BALMER-Serie des Wasserstoffatoms im sichtbaren Bereich \(400{\rm{nm}} \le \lambda  \le 750{\rm{nm}}\) liegen. (11 BE)

Zwei dieser Linien haben die Wellenlänge \({\lambda _1} = 486{\rm{nm}}\) und \({\lambda _2} = 656{\rm{nm}}\). Blickt man durch ein Gitter, welches im Abstand \(L = 75{\rm{cm}}\) vor der Kapillare K einer Wasserstoffentladungsröhre und einem unmittelbar hinter K befindlichen Maßstab aufgestellt ist, so kann man in den Entfernungen \(21{\rm{cm}}\) und \(29{\rm{cm}}\) von K die virtuellen Bilder der Kapillare (1. Ordnung) in den Farben dieser Wellenlängen beobachten.

b)Ordne den virtuellen Bildern die Wellenlängen zu. (4 BE)

c)Berechne die Gitterkonstante \(g\) des verwendeten Gitters. (7 BE)

d)Zeige anhand eines Termschemas, wie aus den beiden Wellenlängen \({\lambda _1}\), und \({\lambda _2}\) eine weitere Linie des Wasserstoffspektrums berechnet werden kann.

Gib deren Wellenlänge sowie den zugehörigen Spektralbereich an. (8 BE)

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für die BALMER-Serie gilt\[\frac{1}{{{\lambda _n}}} = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; \Leftrightarrow {\lambda _n} = \frac{1}{{{R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}};\;n \in \left\{ {3;4;5;...} \right\}\]Man erhält für\[n = 3:\;{\lambda _3} = \frac{1}{{1,10 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)}} = 655{\rm{nm}}\]\[n = 4:\;{\lambda _4} = \frac{1}{{1,10 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)}} = 485{\rm{nm}}\]\[n = 5:\;{\lambda _5} = \frac{1}{{1,10 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}}} \right)}} = 433{\rm{nm}}\]\[n = 6:\;{\lambda _6} = \frac{1}{{1,10 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{6^2}}}} \right)}} = 409{\rm{nm}}\]Alle diese Linien sind sichtbar. Für \(n = 7\) dagegen erhält man \[n = 7:\;{\lambda _7} = \frac{1}{{1,10 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{7^2}}}} \right)}} = 396{\rm{nm}}\]Diese Linie ist nicht mehr sichtbar.

b)Da die Linien mit größerer Wellenlänge ihre Nebenmaxima in größerem Abstand vom Hauptmaximum haben, muss die größere Wellenlänge von \(656\rm{nm}\) zum größeren Abstand von \(29\rm{cm}\) gehören. Die kleinere Wellenlänge von   \(486\rm{nm}\) gehört somit zum kleineren Abstand von \(21\rm{cm}\).

c)Ist \(\alpha_2\) die Weite des Winkels, unter dem man z.B. das Maximum 1. Ordnung der größeren Wellenlänge \(\lambda_2 = 656\rm{nm}\) beobachtet, und \(g\) die Gitterkonstante des Gitters, so lautet die Bedingung für ein Maximum beim Gitter\[\lambda_2  = g \cdot \sin \left( \alpha_2  \right) \Leftrightarrow g = \frac{\lambda_2 }{{\sin \left( \alpha_2  \right)}} \quad(1)\]Ist weiter \(a_{2,1}\) der Abstand des virtuellen Bildes zur Kapillare für diese Wellenlänge, so erhält man\[\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{{a_{2}}}}{L} \Rightarrow {\alpha _2} = \arctan \left( {\frac{{{a_{2}}}}{L}} \right)\quad(2)\]Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) liefert\[g = \frac{\lambda }{{\sin \left( {\arctan \left( {\frac{{{a_{2}}}}{L}} \right)} \right)}} \Rightarrow g = \frac{{656 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}}{{\sin \left( {\arctan \left( {\frac{{29{\rm{cm}}}}{{{\rm{75cm}}}}} \right)} \right)}} = 1,8 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\]

d)Aus der nebenstehenden Abbildung entnimmt man\[\frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{{\rm{neu}}}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{{\rm{4}} \to {\rm{2}}}}}} - \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{3 \to {\rm{2}}}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{\lambda _{{\rm{neu}}}}}} = \frac{1}{{{\lambda _{{\rm{4}} \to {\rm{2}}}}}} - \frac{1}{{{\lambda _{3 \to {\rm{2}}}}}} \Leftrightarrow {\lambda _{{\rm{neu}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{4}} \to {\rm{2}}}} \cdot {\lambda _{3 \to {\rm{2}}}}}}{{{\lambda _{3 \to {\rm{2}}}} - {\lambda _{{\rm{4}} \to {\rm{2}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\lambda _{{\rm{neu}}}} = \frac{{486{\rm{nm}} \cdot 656{\rm{nm}}}}{{656{\rm{nm}} - 486{\rm{nm}}}} = 1880{\rm{nm}}\]Diese Wellenlänge liegt im Infrarotbereich.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

Quantenmech. Atommodell