Die Serienformel für das Wasserstoff-Spektrum lautet\[\frac{1}{\lambda } = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right)\]wobei \({R_\infty }\) die Rydbergkonstante für das Wasserstoffatom ist.
a)
Berechne die Frequenz des Lichts, das in H-Atomen beim Übergang des Elektrons aus der L- in die K-Schale entsteht. (5 BE)
b)
Ermittle mit Hilfe der Serienformel die Ionisationsenergie für ein H-Atom, das sich im ersten angeregten Zustand befindet. (5 BE)
c)
Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung der fünf niedrigsten Stufen im Energieniveauschema von Wasserstoff an. (5 BE)
d)
Untersuche, für welchen Wert von \(n\) mehrere Spektrallinien im sichtbaren Bereich liegen.
Gib an, wie diese Serie heißt.
Berechne für diese die Wellenlängen derjenigen zwei Übergänge, die zu den kleinsten Energiedifferenzen gehören. (6 BE)
Energie zwischen \(n= 2\) und \(m \to \infty \):\[{E_{{\rm{Ion}}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\infty 2}}}} = h \cdot c \cdot {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{\infty ^2}}}} \right) = \frac{{h \cdot c \cdot {R_\infty }}}{4}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{Ion}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}}}}{4} = 3,40{\rm{eV}}\]
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Energieniveauschema von Wasserstoff
Man berechnet entweder die Bindungsenergien der \(n\)-ten Quantenbahn (Nullniveau beim Übergang zum Kontinuum) nach der Formel\[{{E'}_n} = - \frac{{{R_\infty } \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]oder man bestimmt den Energiewert der \(n\)-ten Quantenbahn (Nullniveau bei \(n = 1\)) nach der Formel\[{E_n} = {R_\infty } \cdot h \cdot c \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\]Hierbei ergeben sich die Werte \({E_1} = 0{\rm{eV}}\), \({E_2} = 10,2{\rm{eV}}\), \({E_3} = 12,1{\rm{eV}}\), \({E_4} = 12,7{\rm{eV}}\) und \({E_5} = 13,1{\rm{eV}}\).
d)
Beim Wasserstoff kommen sichtbare Spektrallinien nur bei der Balmerserie (\(n=2\)) vor. Die kleinsten Energiedifferenzen gehören dann zu \(m = 3\) bzw. \(m= 4\).
Die Berechnung der Wellenlängen erfolgt nach der allgemeinen Serienformel\[\frac{1}{\lambda } = {R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right)\]Für den Übergang von \(3\) nach \(2\) ergibt sich \({\lambda _{32}} = 656{\rm{nm}}\), für den Übergang von \(4\) nach \(2\) ergibt sich \({\lambda _{42}} = 486{\rm{nm}}\).
