Planetensystem

Astronomie

Planetensystem

  • Nach welchen Gesetzen bewegen sich die Planeten?
  • Warum kreisen die Planeten eigentlich um die Sonne?
  • Welche Energie benötigt eine Mondrakete?
  • Kommen wir jemals aus unserem Sonnensystem heraus?

Prinzip der Triangulation

Triangulation zur Bestimmung der Sonnenentfernung

Hinweis: In der Astronomie wird die Entfernung Erde-Sonne von ca. 150 Millionen Kilometern als astronomische Einheit (AE) bezeichnet. Man drückt die Entfernungen anderer Planeten meist in Vielfachen der astronomischen Einheit aus.Die Methode der Triangulierung geht wohl auf Aristarch von Samos (250 v. Chr.) zurück, der mit dieser Methode die Entfernung Erde-Sonne abschätzte. Als Basis der Triangulierung verwandte er die Strecke Erde-Mond und bestimmte den Winkel \/\beta\) (vgl. Skizze) gerade dann, wenn von der Erde aus Halbmond beobachtet wurde. In diesem Fall ist der Winkel bei M nämlich 90°. Somit gilt im Dreieck EMS
\[\cos \left( \beta  \right) = \frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}\]
Aristarch hat mit seinen wenigen Hilfsmitteln einen Winkel von β = 87° gemessen.

Aufgabe

Bestimme aus der Winkelmessung des Aristarch das Verhältnis von Sonnen- zu Mondentfernung.

Lösung

\[\frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}} = \cos \left( {87^\circ } \right) = 5{,}23{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{10^{ - 2}} \Rightarrow \frac{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}} = \frac{1}{{5{,}23{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{{10}^{ - 2}}}} = 19\]

Die Entfernung von der Erde zur Sonne ist also 19-mal so groß, wie die Entfernung Erde-Mond.

Mit modernen Methoden stellt man für \(\beta\) einen Wert von \(89^{\circ}51'\) (89 Grad und 51 Bogenminuten) fest. Eine Bogenminute ist dabei der sechszigste Teil eines Grades ist. Somit ergibt sich der Winkel \(\beta\) in Grad zu \(\beta=89^{\circ}+51'=89^{\circ}+\frac{51}{60}^{\circ}=89{,}85^{\circ}\).
a) Bestimme mit diesem genauen Wert noch einmal das Verhältnis von Sonnen- zu Mondentfernung.
b) Vergleiche das Ergebnis mit den Ergebnissen von Aristrach.

Lösung

a) \[\frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}} = \cos \left( {89{,}85^\circ } \right) = 2{,}61{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{10^{ - 3}} \Rightarrow \frac{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}} = \frac{1}{{2{,}61{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{{10}^{ - 3}}}} = 381\]
b) Die Rechnung mit dem heute gemessenen Winkel \(beta\) führt zu einer 20-mal so großen Entfernung von der Erde zur Sonne als die Rechnung mit dem Winkel von Aristrach. Obwohl die beiden Winkel sich nur wenig voneinander unterscheiden, führt dies in dieser Rechnung zu einer großen Abweichung der Ergebnisse.

 

Aus dem 3. Keplerschen Gesetz \(\frac{{{T_1}^2}}{{{T_2}^2}} = \frac{{{a_1}^3}}{{{a_2}^3}}\) kann man auch bei bekannten Umlaufzeiten \(T\) nur die Verhältnisse von Entfernungen zueinander bestimmen. Die wahren Entfernungen können jedoch so nicht berechnet werden. So wusste man zwar früh, dass der die Entfernung der Venus von der Sonne \(0{,}723\,\rm{AE}\), also 0,73-mal den Abstand zwischen Sonne und Erde, beträgt, konnte aber keine genaue Entfernungsangabe in Kilometern geben.

Halley Methode zur Bestimmung von Entfernungen

Der Brite Edmon Halley schlug 1716 als erstes eine Methode vor, mit der man Entfernungen im Sonnensystem bestimmen kann. Dazu sollten ein Beobachter weit im Norden (z.B. London) und ein Beobachter weit im Süden (z.B. Kapstadt) jeweils den Venusdurchgang vor der Sonne beobachten. Aufgrund der unterschiedlichen Position der beiden Beobachter im Abstand \(d\), nehmen sie die Venus auch an unterschiedlichen Positionen der Sonne wahr und messen unterschiedlich lange Durchgangszeiten (siehe Abb. 1). Von Kapstadt aus ist die Venus näher am oberen Rand der Sonne zu sehen und daher für den Beobachter hier auch eine kürzere Zeit vor der Sonne. Der Beobachter in London sieht die Venus weiter in der Mitte der Sonne und daher auch länger.

Schema Venusdurchgang durch Sonne von verschiedenen Beobachtungsorten
Abb. 1: Schematische Stroboskopdarstellung der Venusdurchgänge von Kapstadt bzw. London aus gesehen (nicht maßstabsgetreu)

Bestimmung der Entfernung zwischen den beobachteten Venusdurchgängen

Aus den genauen Beobachtungen des Venusdurchgangs (insbesondere von den Zeiten des Durchgangs) von beiden Orten aus und den bekannten relativen Entfernungen Erde-Sonne bzw. Venus-Sonne, kann  dann über die Ähnlichkeit zweier Dreiecke die Entfernung \(D\) zwischen den wahrgenommenen Venusdurchgängen auf der Sonne berechnet werden.

Skizze zur Bestimmung Astronomische Einheit nach Halley
Abb. 2:Berechnung des Abstands \(D\) über ähnliche Dreiecke
Es gilt:\[\frac{D}{0{,}723\,\rm{AE}}=\frac{d}{0{,}277\,\rm{AE}}\Rightarrow D=\frac{0{,}723\,\rm{AE}}{0{,}277\,\rm{AE}}\cdot d=2{,}61d\] Mit der Entfernung \(d=8500\,\rm{km}\) zwischen London und Kapstadt ergibt sich \[D=2{,}61\cdot 8500\rm{km}\approx 22000\rm{km}\]

Bestimmung der Länge einer Astronomischen Einheit

Bestimmung der Länge der Astronomischen Einheit nach Halley
Abb. 3: Längenbestimmung der Astronomischen Einheit

Aus den Versuchsergebnisse kann auch der Winkel \(\delta\) bestimmt werden, unter dem man von London aus zwei Punkte auf der Sonne in der Distanz \(D\) sehen würde. Es ergibt sich ein Winkel von \(\delta  = 30''\) wobei \(30´´\approx 0{,}0083^{\circ}\) sind. Aus geometrischen Überlegungen folgt damit: \[{tan\left( {\frac{\delta }{2}} \right) = \frac{{\frac{D}{2}}}{{1{\rm{AE}}}} \Leftrightarrow 1{\rm{AE}} = \frac{{\frac{D}{2}}}{{tan\left( {\frac{\delta }{2}} \right)}}}\]

Einsetzen der aus den Beobachtung gewonnenen Werten liefert \[\rm{AE} = \frac{\frac{2{,}20 \cdot 10^7 \rm{m}}{2}}{\tan\left( \frac{0{,}0083^{\circ}}{2}\right)} = 1{,}5 \cdot {10}^{11}\,\rm{m}\]

Probleme bei der Genauigkeit

Reale Beobachtung beim Venustransit 1769
Abb. 4: Real beobachtbare Venusdurchgänge aus Vardø (Norden) und Thaiti (Süden)

Bei den Venusdurchgängen 1761, 1769, 1874 und 1882 wurden diverse Messungen an verschiedenstern Orten der Erde nach den Ideen Halleys, der schon 1742 verstarb, durchgeführt. Die Ergebnisse waren jedoch nicht befriedigend genau. Wie in Abb. 4 zu sehen sind die real zu beobachtenden Abstände und Zeitunterschiede gering.

Später wurden Messungen mit dem Asteroiden Eros durchgeführt, der im Jahr 1930 nur 0,15 AE von der Erde entfernt war. Dies lieferte bessere Ergebnisse.

Noch genauere Daten ergeben Radarreflektionszeitmessungen zu Mars und Venus, die seit 1960 durchgeführt werden.

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