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Versuche

Sonnenentfernung nach Aristarch

Prinzip der Triangulation

Joachim Herz Stiftung

Hinweis: In der Astronomie wird die Entfernung Erde-Sonne von ca. 150 Millionen Kilometern als astronomische Einheit (AE) bezeichnet. Man drückt die Entfernungen anderer Planeten meist in Vielfachen der astronomischen Einheit aus. Die Methode der Triangulierung geht wohl auf Aristarch von Samos (250 v. Chr.) zurück, der mit dieser Methode die Entfernung Erde-Sonne abschätzte. Als Basis der Triangulierung verwendete er die Strecke Erde-Mond und bestimmte den Winkel \(\beta\) (vgl. Skizze) gerade dann, wenn von der Erde aus Halbmond beobachtet wurde. In diesem Fall ist der Winkel bei M nämlich 90°. Somit gilt im Dreieck EMS
\[\cos \left( \beta  \right) = \frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}\]
Aristarch hat mit seinen wenigen Hilfsmitteln einen Winkel von \(\beta=87^{\circ}\) gemessen.

Aufgabe

Bestimme aus der Winkelmessung des Aristarch das Verhältnis von Sonnen- zu Mondentfernung.

Lösung

\[\frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}} = \cos \left( {87^\circ } \right) = 5{,}23{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{10^{ - 2}}\]
\[\Rightarrow \frac{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}} = \frac{1}{{5{,}23{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{{10}^{ - 2}}}} = 19\]

Die Entfernung von der Erde zur Sonne ist also 19-mal so groß, wie die Entfernung Erde-Mond.

Mit modernen Methoden stellt man für \(\beta\) einen Wert von \(89^{\circ}51'\) (89 Grad und 51 Bogenminuten) fest. Eine Bogenminute ist dabei der sechszigste Teil eines Grades ist. Somit ergibt sich der Winkel \(\beta\) in Grad zu \(\beta=89^{\circ}+51'=89^{\circ}+\frac{51}{60}^{\circ}=89{,}85^{\circ}\).
a) Bestimme mit diesem genauen Wert noch einmal das Verhältnis von Sonnen- zu Mondentfernung.
b) Vergleiche das Ergebnis mit den Ergebnissen von Aristrach.

Lösung

a) \[\frac{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}} = \cos \left( {89{,}85^\circ } \right) = 2{,}61{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{10^{ - 3}}\]

\[\Rightarrow \frac{{\left| {\overline {{\rm{ES}}} } \right|}}{{\left| {\overline {{\rm{EM}}} } \right|}} = \frac{1}{{2{,}61{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}{{10}^{ - 3}}}} = 381\]
b) Die Rechnung mit dem heute gemessenen Winkel \(\beta\) führt zu einer 20-mal so großen Entfernung von der Erde zur Sonne als die Rechnung mit dem Winkel von Aristrach. Obwohl die beiden Winkel sich nur wenig voneinander unterscheiden, führt dies in dieser Rechnung zu einer großen Abweichung der Ergebnisse.