Das obige Luftbild vom Olympiastadion in München wurde aus einem Flugzeug mit einer Kamera aufgenommen, deren Objektiv die Brennweite von \(500\,\rm{mm}\) hatte. Das nebenstehende Bild füllte das \(60\,\rm{mm}\) x \(60\,\rm{mm}\) große Filmnegativ gerade aus.
a)Schätze die Flughöhe des Flugzeuges grob ab.
b)Berechne die Länge der Längsseite des Fußballfeldes auf dem Negativ (bei gleicher Flughöhe), wenn man ein Normalobjektiv mit der Brennweite von \(50\,\rm{mm}\) verwenden würde.
Solltest du auch nach längerem Nachdenken zu keinem Lösungsansatz finden, so kannst du dir hier einen Tipp einblenden lassen.
Ein Bundesliga-Spielfeld ist \(105\,\rm{m}\) lang und \(68\,\rm{m}\) breit.
a)Stelle den Zoomfaktor an deinem Bildschirm so ein, dass das quadratische Bild in der Aufgabenstellung eine Kantenlänge von \(60\,\rm{mm}\) hat. Miss dann die Länge der Seitenlinie des Fußballfeldes ab. Sie beträgt ca. \(23\,\rm{mm}\). Hinweis: Da die reale Seitenlinie nicht parallel zur Filmebene ist, stellen die \(23\,\rm{mm}\) nur einen groben Näherungswert dar.
Nun verwendet man die Linsengleichung\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\quad (1)\]Wir kennen von der Seitenlinie des Fußballfeldes die wahre Länge \(G = 105\,\rm{m}\) und in etwa die Größe der Seitenlinie auf dem Film \(B \approx 23\,\rm{mm}\). Gesucht ist die Entfernung \(g\) des Objektivs des Fotoapparates vom Stadion (dies ist in etwa die Flughöhe). Damit \(g\) berechnet werden kann, müssen wir noch die Bildweite \(b\) wissen. Da die Gegenstandsweite wesentlich größer als die Brennweite \(f\) des Objektivs ist, können wir für die Abschätzung annehmen, dass \(b\) ungefähr gleich \(f\) ist (je weiter ein Gegenstand vom Objektiv entfernt ist, desto näher wandert das Bild zum bildseitigen Brennpunkt): \[b \approx f \quad (2)\]Setzt man Gleichung \((2)\) in \((1)\) ein, so ergibt sich\[\frac{B}{G} \approx \frac{f}{g} \Leftrightarrow g \approx f \cdot \frac{G}{B} \Rightarrow g \approx 500\,{\rm{mm}} \cdot \frac{{105\,{\rm{m}}}}{{23\,{\rm{mm}}}} = 2{,}3\,{\rm{km}}\]Das Flugzeug befand sich ungefähr in einer Höhe von \(2\,\rm{km}\).
b)Ähnlich berechnen wir\[\frac{B}{G} \approx \frac{f}{g} \Leftrightarrow B \approx G \cdot \frac{f}{g} \Rightarrow B \approx 105\,{\rm{m}} \cdot \frac{{50\,{\rm{mm}}}}{{2{,}3 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}} = 2{,}3\,{\rm{mm}}\]Das Bild der Seitenlinie hätte eine Länge von ca. \(2{,}3\,\rm{mm}\).
