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Aufgabe

Vergrößerung durch ein Objektiv

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Im Gegensatz zu einer einzelnen Sammellinse treten bei der Abbildung durch ein Objektiv kaum Farbfehler auf. Außerdem führen auch achsenferne Strahlen zu keiner Bildverzerrung. Rechnerisch ist ein Projektionsobjektiv wie eine Sammellinse zu behandeln.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Flexon möchte eine brennende Kerze mit einem Objektiv neunfach vergrößern. Der Abstand zwischen Kerze und Projektionswand ist \(4{,}0\,\rm{m}\).

a)Berechne, wie weit das Objektiv von der Kerze entfernt sein muss.

b)Berechne, welche Brennweite das Objektiv haben sollte.

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a)geg.: \(b + g = 4{,}0\,\rm{m} \quad (1)\); \(\frac{B}{G} = \frac{9}{1} \quad (2)\)

ges.: \(g\)

Für das Verhältnis von Bildgröße und Gegenstandsgröße gilt auch:\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g} \Rightarrow \frac{b}{g} = \frac{9}{1} \Leftrightarrow b = 9 \cdot g\]Setzt man dieses Ergebnis in \((1)\) ein, so folgt\[9 \cdot g + g = 4{,}0\,\rm{m} \Leftrightarrow 10 \cdot g = 4{,}0\,\rm{m} \Leftrightarrow \quad g = 0{,}40\,\rm{m}\]Die Kerze muss also \(40\,\rm{cm}\) vom Objektiv entfernt sein.

b)geg.: \(g = 0{,}40\,\rm{m}\); \(b = 3{,}60\,\rm{m}\)

ges.: \(f\)

Umformen der Linsengleichung\[{\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{{1 \cdot b}}{{g \cdot b}} + \frac{{1 \cdot g}}{{b \cdot g}} = \frac{{b + g}}{{g \cdot b}} \Leftrightarrow f = \frac{{g \cdot b}}{{b + g}}}\]und Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{f = \frac{{0{,}40\,{\rm{m}} \cdot 3{,}60\,{\rm{m}}}}{{4{,}0\,{\rm{m}}}} = 0{,}36\,{\rm{m}}}\]Das Objektiv muss eine Brennweite von \(36\,\rm{cm}\) besitzen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Optik

Optische Linsen