Masse, Volumen und Dichte

Mechanik

Masse, Volumen und Dichte

  • Was ist schwerer, 1 Kilogramm Federn oder 1 Kilogramm Blei?
  • Wie hat ARCHIMEDES die Krone des Hiero von Syrakus vermessen?

Bei den Aufgaben zur Dichte lässt sich das Volumen mancher (sehr einfacher) Körper rechnerisch ermitteln. Im Folgenden sind die Formeln für einige wichtige Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnungen angegeben.

Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Figuren

Quadrat mit Seitenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{Q}}} = 4 \cdot a}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{Q}}} = {a^2}}\end{array}\]

Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{R}}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{R}}} = a \cdot b}\end{array}\]

Dreieck mit Grundseitenlänge \(g\) und Höhe \(h\)

\[{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{D}}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]

Kreis mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{K}}} = 2 \cdot \pi  \cdot r}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{K}}} = \pi  \cdot {r^2}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten \(100\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{{\rm{m}}^2}}\end{array}\]

Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern

Würfel mit Kantenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{W}}} = 6 \cdot {a^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{W}}} = {a^3}}\end{array}\]

Quader mit Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Q}}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot \left( {a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Q}}} = a \cdot b \cdot c}\end{array}\]

Kreiszylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Z}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r^2} + 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot \left( {r + h} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Z}}} = \pi  \cdot {r^2} \cdot h}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Kugel mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{K}}} = 4 \cdot \pi  \cdot {r^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{K}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten \(1000\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{{\rm{m}}^3}}\end{array}\]


Hier lernst du,...

  • ...was die Dichte eines Körpers ist.
  • ...wie du die Dichte berechnen kann.

Zusammenhang zwischen Volumen und Massen

Abb. 1: V-m-Diagramm für Eisen und Aluminium

Wenn du für verschieden große Körper aus einem Material (bspw. einen kleinen, einen mittelgroßen und einen großen Eisenwürfel) jeweils das Volumen V und die Masse m bestimmst, kannst du ein Volumen-Masse-Diagramm (V-m-Diagramm) erstellen. Abbildung 1 zeigt ein V-m-Diagramm für Körper aus Eisen und Aluminium.
Im Diagramm ergibt sich für Eisen eine Ursprungsgerade. Daher ist die Masse m proportional zum Volumen V. Es gilt:

\[{m\sim V}\]

Verdoppelst du also das Volumen \({V}\) des Eisenstückes, verdoppelt sich auch seine Masse \({m}\).

Festlegung der Dichte

Auch für andere Materialien ergeben sich im \({V}\)-\({m}\)-Diagramm Ursprungsgeraden, also proportionale Zusammenhänge. Jedoch hängt die Steigung (Steilheit) der Geraden vom Material ab. In Abbildung 1 kannst du sehen, dass die Steigung der Geraden für Eisen größer ist als die Steigung der Geraden für Aluminium.
Die Steigung der Geraden ist jeweils der Proportionalitätsfaktor des Zusammenhangs zwischen Masse und Volumen. Man nennt diesen Proportionalitätsfaktor die Dichte \({\rho}\) (Rho) des Materials.
Da die Steigung der Geraden für Eisen größer ist als die Steigung der Geraden für Aluminium, ist die Dichte von Eisen höher als die Dichte von Aluminium.

 

Die Dichte \({\rho}\) ist das Verhältnis von Masse \({m}\) und Volumen \({V}\). Du kannst die Dichte berechnen, indem du den Quotienten aus der Masse \({m}\) und dem Volumen \({V}\) bildest:

\[{\rho=\frac{m}{V} }\]

Die Einheit der Dichte ist:

\[{\left[ \rho \right] = 1\,\rm{\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}\]

 

Dichtewerte für ausgewählte Materialien
Material Dichte in kg/m3
Gold 19302
Eisen 7900
Aluminium 2710
Wasser (0° C) 1000
Eichenholz 800
Kork 500

Wissenswertes zur Dichte

  • Eine Dichte von \({\rho=8\,\rm{{\frac{{kg}}{m^{3}}}}}\) besagt, dass \({\rm 1\,{m^{3}}}\) des Materials die Masse \({\rm 8\,{kg}}\) besitzt.

  • Die Dichte ist typisch für ein bestimmtes Material. Man nennt sie daher auch eine Materialkonstante. Die Tabelle rechts zeigt ausgewählte Dichtewerte.

  • Da die Masse \({m}\) und das Volumen \({V}\) ortsunabhängig sind, ist auch die Dichte \({\rho}\) ortsunabhängig. Das heißt, die Dichte eines Material ist an allen Orten (auf der Erde, auf dem Mond usw.) gleich.

 

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Masse \({m}\) eines Materials und das Volumen \({V}\) des Materials sind proportional zueinander.

  • Die Dichte \({\rho}\) ist der Quotient aus Masse und Volumen.

    \[{\rho=\frac{m}{V} }\]

  • Die Einheit der Dichte ist:

    \[{\left[ \rho \right] = 1\,\rm{\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}\]

Verständnisfragen

1.) Welche Dichte besitzt ein Körper mit der Masse \({m=2000\,\rm{kg}}\) und dem Volumen \({V=2\,\rm{m^3}}\)?

2.) Ein Körper aus Holz mit dem Volumen \({V=\rm{300\,cm^3}}\) besitzt die Masse von \({m=\rm{200\,g}}\). Welches Volumen besitzt ein Holzstück mit der Masse \({m=\rm{600\,g}}\)?

Theorie

Eine physikalische Größe kann als Produkt eines Zahlenwert (Maßzahl) und einer Einheit (Maßeinheit) aufgefasst werden: \({\rho  = 10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\) kann in der Form \(\rho  = 10 \cdot 1\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) oder \(\rho  = 10 \cdot \frac{{1{\rm{kg}}}}{{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) geschrieben werden.

Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man \(\left[ \rho  \right] = 1\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = \frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\).

Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSA-System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Dichteangabe in \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\). Wie man nun eine Dichteangabe in eine andere Maßeinheit umwandelt zeigen wir dir anhand eines Beispiels.

 

Musterbeispiel

Wie viel \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) sind \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)? Oder kurz: \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

1. Schritt: Drücke die gegebene Größe \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) in der gesuchten Einheit \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) aus.
\[10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 10 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
Hinweis: Die Umrechnungszahl bei benachbarten Masseeinheiten ist \(1000\) (\(1{\rm{kg }} = 1000{\rm{g}}\)), die Umrechnungszahl bei benachbarten Volumeneinheiten ist ebenfalls \(1000\) (\(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), \(1{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), also \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000 \cdot 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

2. Schritt: Vereinfache das Ergebnis.
\[10 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{100000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot \frac{{1{\rm{g}}}}{{100{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot {10^{ - 2}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,010\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

Damit ergibt sich
\[10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot {10^{ - 2}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,010\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

Rechne die gegebenen Dichteangaben in die angegebene Maßeinheit um. Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissens-Seite: Genauigkeit bei Zahlenangaben).

  1. \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

  2. \(35\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

  3. \(70\frac{{{\rm{mg}}}}{{{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)


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