Masse, Volumen und Dichte

Mechanik

Masse, Volumen und Dichte

  • Was ist schwerer, 1 Kilogramm Federn oder 1 Kilogramm Blei?
  • Wie hat ARCHIMEDES die Krone des Hiero von Syrakus vermessen?

Bei den Aufgaben zur Dichte lässt sich das Volumen mancher (sehr einfacher) Körper rechnerisch ermitteln. Im Folgenden sind die Formeln für einige wichtige Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnungen angegeben.

Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Figuren

Quadrat mit Seitenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{Q}}} = 4 \cdot a}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{Q}}} = {a^2}}\end{array}\]

Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{R}}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{R}}} = a \cdot b}\end{array}\]

Dreieck mit Grundseitenlänge \(g\) und Höhe \(h\)

\[{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{D}}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]

Kreis mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{K}}} = 2 \cdot \pi  \cdot r}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{K}}} = \pi  \cdot {r^2}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten \(100\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{{\rm{m}}^2}}\end{array}\]

Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern

Würfel mit Kantenlänge \(a\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{W}}} = 6 \cdot {a^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{W}}} = {a^3}}\end{array}\]

Quader mit Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Q}}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot \left( {a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Q}}} = a \cdot b \cdot c}\end{array}\]

Kreiszylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Z}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r^2} + 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot \left( {r + h} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Z}}} = \pi  \cdot {r^2} \cdot h}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Kugel mit Radius \(r\)

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{K}}} = 4 \cdot \pi  \cdot {r^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{K}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten \(1000\) ist.

Beispiele:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{{\rm{m}}^3}}\end{array}\]


Theorie

Bei verschiedenen Körpern aus gleichem Material stellt man fest, dass die Masse \(m\) der Körper proportional zu ihrem Volumen \(V\) ist. Dies erkennt man daran, dass sich im \(V\)-\(m\)-Diagramm (Volumen-Masse-Diagramm) eine Ursprungsgerade ergibt, deren Steigung (Steilheit) vom verwendeten Material abhängt. Es gilt
\[m \sim V\]
Der Quotient aus \(m\) und \(V\) wird als Dichte \(\rho \) bezeichnet. Das bedeutet
\[\rho = \frac{m}{V}\]
Die Einheit der Dichte ist
\[\left[ \rho \right] = 1\rm{\frac{{kg}}{{{m^3}}}}\]

Hinweise

  • Die Dichte \(\rho  = 8\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) besagt, dass \(1{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}\) des betreffenden Materials die Masse \(8{{\rm{g}}}\) besitzt.

  • Bei Rechenaufgaben zur Dichte sind oft Einheitenumwandlungen notwendig. Beachte hierzu das entsprechende Grundwissens-Blatt: Einheitenumwandlung bei der Dichte.

  • Bei einigen Aufgaben kann die Gewichtskraft des Körpers auftreten. Die Gewichtskraft ist nicht mit der Masse des Körpers zu verwechseln. Für die Dichteberechnung muss die Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}}\) zuerst in die zugehörige Masse \(m\) mittels \(m = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{g}\) (\(g\): Ortsfaktor, bei uns näherungsweise \({g = 10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}\)) umgerechnet werden.

  • Die Dichte ist typisch für ein bestimmtes Material. Man bezeichnet sie daher auch als eine Materialkonstante.

  • Da die Masse \(m\) und das Volumen \(V\) ortsunabhängig sind, ist auch \(\rho \) ortsunabhängig.

Um die (innere) Querschnittsfläche \(A\) eines Kapillarrohres bestimmen zu können bringt man in das Rohr einen Quecksilbertropfen, der sich zu einem Faden verformt. Der Faden hat die Länge \(l = 12{\rm{cm}}\) und die Gewichtskraft \({{F_{\rm{G}}} = 0,64{\rm{cN}}}\).

Berechne die (innere) Querschnittsfläche \(A\) des Rohrs. Hinweis: Für die Dichte des Quecksilbers gilt \({\rho _{{\rm{Hg}}}} = 13,6\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\).

 

Verständnisfragen

1.) Welche Dichte besitzt ein Körper mit der Masse \({m=2000\,\rm{kg}}\) und dem Volumen \({V=2\,\rm{m^3}}\)?

2.) Ein Körper aus Holz mit dem Volumen \({V=\rm{300\,cm^3}}\) besitzt die Masse von \({m=\rm{200\,g}}\). Welches Volumen besitzt ein Holzstück mit der Masse \({m=\rm{600\,g}}\)?

 

 

 

Theorie

Eine physikalische Größe kann als Produkt eines Zahlenwert (Maßzahl) und einer Einheit (Maßeinheit) aufgefasst werden: \({\rho  = 10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\) kann in der Form \(\rho  = 10 \cdot 1\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) oder \(\rho  = 10 \cdot \frac{{1{\rm{kg}}}}{{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) geschrieben werden.

Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man \(\left[ \rho  \right] = 1\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = \frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\).

Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSA-System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Dichteangabe in \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\). Wie man nun eine Dichteangabe in eine andere Maßeinheit umwandelt zeigen wir dir anhand eines Beispiels.

 

Musterbeispiel

Wie viel \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) sind \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)? Oder kurz: \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

1. Schritt: Drücke die gegebene Größe \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) in der gesuchten Einheit \(\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) aus.
\[10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 10 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
Hinweis: Die Umrechnungszahl bei benachbarten Masseeinheiten ist \(1000\) (\(1{\rm{kg }} = 1000{\rm{g}}\)), die Umrechnungszahl bei benachbarten Volumeneinheiten ist ebenfalls \(1000\) (\(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), \(1{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), also \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000 \cdot 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

2. Schritt: Vereinfache das Ergebnis.
\[10 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{1000000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot \frac{{1000{\rm{g}}}}{{100000{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot \frac{{1{\rm{g}}}}{{100{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot {10^{ - 2}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,010\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

Damit ergibt sich
\[10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,0 \cdot {10^{ - 2}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 0,010\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

Rechne die gegebenen Dichteangaben in die angegebene Maßeinheit um. Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissens-Seite: Genauigkeit bei Zahlenangaben).

  1. \(10\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

  2. \(35\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)

  3. \(70\frac{{{\rm{mg}}}}{{{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = ?\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)


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