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Grundwissen

Flächen- und Volumenberechnung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Flächeneinheiten besitzen immer die Hochzahl \(2\), z.B. \(\rm{cm^2}\), Volumeneinheiten die Hochzahl \(3\), z.B. \(\rm{cm^3}\).
  • Die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten ist \(100\).
  • Die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten ist \(1000\).
Aufgaben Aufgaben

Bei den Aufgaben zur Dichte lässt sich das Volumen mancher (sehr einfacher) Körper rechnerisch ermitteln. Im Folgenden sind die Formeln für einige wichtige Umfangs-, Flächen- und Volumenberechnungen angegeben.

Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Figuren

Quadrat mit Seitenlänge \(a\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Quadrat

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{Q}}} = 4 \cdot a}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{Q}}} = {a^2}}\end{array}\]


Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Rechteck

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{R}}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{R}}} = a \cdot b}\end{array}\]


Dreieck mit Grundseitenlänge \(g\) und Höhe \(h\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Dreieck

\[{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{D}}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]


Kreis mit Radius \(r\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Kreis

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Umfang:}}\;\;\;{u_{\rm{K}}} = 2 \cdot \pi  \cdot r}\\{{\rm{Flächeninhalt:}}\;\;\;{A_{\rm{K}}} = \pi  \cdot {r^2}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]


Beispiele für die Umrechnung von Flächeneinheiten

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Flächeneinheit zur benachbarten \(100\) ist.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}\\{1{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^2} = \frac{1}{{100}}{{\rm{m}}^2}}\end{array}\]


Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern

Würfel mit Kantenlänge \(a\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Würfel

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{W}}} = 6 \cdot {a^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{W}}} = {a^3}}\end{array}\]


Quader mit Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 6 Quader

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Q}}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 \cdot \left( {a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Q}}} = a \cdot b \cdot c}\end{array}\]


Kreiszylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 7 Kreiszylinder

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{Z}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r^2} + 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi  \cdot r \cdot \left( {r + h} \right)}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{Z}}} = \pi  \cdot {r^2} \cdot h}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]


Kugel mit Radius \(r\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 8 Kugel

\[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{Oberfläche:}}\;\;\;{O_{\rm{K}}} = 4 \cdot \pi  \cdot {r^2}}\\{{\rm{Volumen:}}\;\;\;{V_{\rm{K}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}}\end{array}} \right\}\;{\rm{mit}}\;\pi  \approx 3,14\]


Beispiele für die Umrechnung von Volumeneinheiten

Beachte, dass die Umrechnungszahl von einer Volumeneinheit zur benachbarten \(1000\) ist.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{m}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}\\{1{{\rm{m}}^3} = 1000{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}}&{1{\rm{d}}{{\rm{m}}^3} = \frac{1}{{1000}}{{\rm{m}}^3}}\end{array}\]

Aufgaben

Flächen- und Volumenberechnung

Einstiegsaufgaben

Übungsaufgaben