a)Berechnung der Beschleunigung (konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung vorausgesetzt):\[ v_b(t) = a_b \cdot t \quad \Rightarrow \quad a_b = \frac{v_b(t)}{t} \quad \Rightarrow \quad a_b = \frac{120 / 3,6 }{0,020} \mathrm{\frac{m}{s^2}} \approx 17 \cdot 10^2 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \]Berechnung der Kraft auf den Ball nach dem Kraftgesetz von Newton:\[ F_b = m_b \cdot a_b \quad \Rightarrow \quad F_b = 0,430 \cdot 16,7 \cdot 10^2 \mathrm{kg \cdot \frac{m}{s^2}} \approx 7,2 \cdot 10^2 \mathrm{N} \]
b)Bewegungsenergie des Balles:\[ E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_b \cdot v_b^2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 0,430 \cdot \left( \frac{120}{3,6} \right)^2 \mathrm{J} \approx 239 \mathrm{J} \]Diese Bewegungsenergie wird dem Ball innerhalb von 0,020s zugeführt. Somit ergibt sich für die Leistung:\[ \begin{array}{} P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad P = \frac{239}{0,020} \mathrm{W} \approx 11,9 \mathrm{kW} \\ \\P = \frac{11,9 \cdot 10^3}{736} \mathrm{PS} \approx 16 \mathrm{PS} \end{array} \]
c)Berechnung der Beschleunigung des Fußes aus seiner Endgeschwindigkeit und der Beschleunigungsstrecke (wieder wird zur Vereinfachung eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung angenommen):\[ v_f^2 = 2 \cdot a_f \cdot x_f \quad \Rightarrow \quad a_f = \frac{v_f^2}{2 \cdot x_f} \quad \Rightarrow \quad a_f = \frac{ \left( \frac{60}{3,6} \right)^2 }{2 \cdot 1,0} \mathrm{\frac{m}{s^2}} \approx 139 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \approx 14 \cdot g \]
d)Berechnung des Betrags der Verzögerung des Balles beim Fangvorgang:\[ v_b^2 = 2 \cdot a_b \cdot x_b \quad \Rightarrow \quad a_b = \frac{v_b^2}{2 \cdot x_b} \quad \Rightarrow \quad a_b = \frac{ \left( \frac{120}{3,6} \right)^2 }{2 \cdot 0,50} \mathrm{\frac{m}{s^2}} \approx 11 \cdot 10^2 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \]Berechnung der Kraft, welche der Ball beim Fangvorgang erfährt:\[ F_b = m_b \cdot a_b \quad \Rightarrow \quad F_b = 0,430 \cdot 11,1 \cdot 10^2 \mathrm{N} \approx 4,8 \cdot 10^2 \mathrm{N} \]Nach dem Wechselwirkungsgesetz von Newton ("actio gegengleich reactio") erfährt der Torwart eine Kraft vom gleichen Betrag aber entgegengesetzter Richtung:\[ \begin{array}{} F_t \approx 59,8 \mathrm{N} \qquad \text{da} \quad F_{g,b} = m_b \cdot g \quad \text{ist, gilt:} \\ \\\frac{F_t}{F_{g,b}} = \frac{4,8 \cdot 10^2}{0,430 \cdot 9,81} \approx 1,1 \cdot 10^2 \end{array} \]
