Ein Skifahrer mit der Masse \(75\,{\rm{kg}}\) fährt einen \(30^\circ \) geneigten Hang hinunter. Der Gleitreibungskoffizient von Schnee und Ski beträgt \(0{,}0050\).
a)
Berechne die Beschleunigung, die der Skifahrer erfährt.
b)
Berechne die Strecke, die der Skifahrer innerhalb von \(10\,\rm{s}\) zurücklegt.
c)
Berechne die Geschwindigkeit, die der Skifahrer nach \(10\,\rm{s}\) erreicht hat.
d)
Erläutere, warum die Geschwindigkeit des Skifahrers auch bei einem sehr langen Hang nicht über eine bestimmte Größe hinaus wächst.
Auf den Skifahrer wirken zwei Kräfte: zum einen schräg nach unten die Hangabtriebskraft \({{\vec F}_{{\rm{HA}}}}\) mit \({F_{{\rm{HA}}}} = m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right)\) und zum anderen - wenn der Skifahrer den Hang hinuntergleitet - schräg nach oben die Gleitreibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{GR}}}}\) mit \({F_{{\rm{GR}}}} = m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot {\mu _{GR}}\). Damit gilt für den Betrag der Gesamtkraft\[{F_{{\rm{ges}}}} = {F_{{\rm{HA}}}} - {F_{{\rm{GR}}}} = m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) - m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot {\mu _{GR}} = m \cdot g \cdot \left( {\sin \left( \alpha \right) - \cos \left( \alpha \right) \cdot {\mu _{GR}}} \right)\]Damit ergibt sich nach dem 2. Axiom von NEWTON\[{F_{{\rm{ges}}}} = a \cdot m \Leftrightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{ges}}}}}}{m} = \frac{{m \cdot g \cdot \left( {\sin \left( \alpha \right) - \cos \left( \alpha \right) \cdot {\mu _{GR}}} \right)}}{m} = g \cdot \left( {\sin \left( \alpha \right) - \cos \left( \alpha \right) \cdot {\mu _{GR}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {\sin \left( {30^\circ } \right) - \cos \left( {30^\circ } \right) \cdot 0,0050} \right) = 4,9\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]Bemerkung: Die Gleitreibung spielt also hier praktisch keine Rolle.
b)
Die Strecke ergibt sich aus \[{s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 4,9\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {10{\rm{s}}} \right)}^2} = 245{\rm{m}}}\]
c)
Die Geschwindigkeit nach 10 Metern ergibt sich aus \[{v = a \cdot t \Rightarrow v = 4,9\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10{\rm{s}} = 49\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]
d)
Durch die größer werdende Geschwindigkeit des Skifahrers wächst der Luftwiderstand (quadratisch mit der Geschwindigkeit) so lange an, bis ein Kräftegleichgewicht zwischen Hangabtriebskraft und Luftwiderstand herrscht und sich der Skifahrer ab dann gleichförmig weiterbewegt.
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