Kraft und Bewegungsänderung

Mechanik

Kraft und Bewegungsänderung

  • Warum braucht man im Weltall eigentlich keinen Antrieb?
  • Braucht man für eine Kurvenfahrt ständig Kraft?
Mannigfaltige Beispiele aus dem Alltag zeigen, dass bei der Beschleunigung und dem Abbremsen eines Körpers eine enge Beziehung zwischen den drei Größen Kraft, (träger) Masse und Beschleunigung besteht. Aus der Erfahrung kann man folgende Sätze aufstellen:
  • Die größere Kraft beschleunigt den gleichen Körper stärker.

  • Die gleiche Kraft beschleunigt den leichteren Körper stärker.

  • Die größere Kraft bremst den gleichen Körper stärker.

  • Die gleiche Kraft bremst den leichteren Körper stärker.

Aufgabe

Formuliere für jedes der obigen Bilder einen Satz von der Art, wie sie die Erfahrungssätze im Kasten sind.

Die folgende Animation zeigt das prinzipielle Verhalten von Körpern verschiedener Masse, auf die verschieden "große" Kräfte wirken. Diese verschieden "großen" Kräfte werden durch verschieden stark ausgedehnte Federwaagen, wie du sie aus dem Unterricht der Sekundarstufe I kennst, symbolisiert. Dahinter steckt unser Gefühl, dass eine doppelt so weit ausgedehnte Feder eine doppelt so starke Federkraft ausübt; genau so wie uns unser Gefühl sagt, dass eine doppelt so große Masse eine doppelt so große Gewichtskraft erfährt.

Wir müssen uns aber an dieser Stelle klar werden, dass wir noch keine präzise Definition der Stärke einer Kraft haben: es gibt nirgendwo eine Feder, die wie das Urkilogramm oder das Urmeter die Maßeinheit der Kraft definiert. Die von NEWTON eingeführte Definition der Kraft und ihrer Maßeinheit beruht nun auf unserem Gefühl und dem in der Animation dargestellten Verhalten der verschiedenen Körper und ist gleichzeitig präzise im physikalischen Sinn.


   

Wenn wir also unserem Gefühl entsprechend der doppelt so weit ausgedehnten Feder eine doppelt so große Kraft zuschreiben, dann zeigt die Animation die Ergebnisse des zugehörigen Experimentes, dass nämlich zum einen
\[a \sim F\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;m\;{\rm{konstant}}\;{\rm{gehalten}}\;{\rm{wird}}\]
und zum anderen
\[a \sim \frac{1}{m}\;{\rm{,}}\;{\rm{wenn}}\;F\;{\rm{konstant}}\;{\rm{gehalten}}\;{\rm{wird}}\]
was zu
\[a \sim F \cdot \frac{1}{m} \quad \rm{b.z.w.} \quad a \sim \frac{F}{m}\]
führt und schließlich zu
\[F \sim a \cdot m\]
umgeformt werden kann. Mit diesem Ergebnis definierte nun NEWTON, was wir unter Kraft zu verstehen haben und gleichzeitig die Einheit der Kraft. Er machte diese Definition so, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen \(F\) und \(m \cdot a\) den Wert \(1\) hat.

Definition der Kraft (2. NEWTONsches Axiom)

Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung:
\[F = m \cdot a\]
Die Einheit der Kraft ist zu Ehren von Isaak NEWTON 1 Newton (\(1\rm{N}\)). \(1\rm{N}\) ist die Kraft, die auf einem Körper der Masse \(m=1\rm{kg}\) wirkt, wenn er die Beschleunigung \(a=\frac{\rm{m}}{{{\rm{s^2}}}}\) erfährt. Es gilt somit
\[\left[ F \right] = \left[ m \right] \cdot \left[ a \right] = 1{\rm{kg}} \cdot 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1{\rm{kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1{\rm{N}}\]

Die folgende Animation soll diese Definition der Maßeinheit der Kraft noch einmal verdeutlichen:


   

Die sogenannte "Dynamische Kraftmessung" geschieht also in folgenden Schritten:

1. Bestimmung der Masse \(m\) des Körpers, auf den die Kraft wirkt (z.B. mit Hilfe einer Balkenwaage).

2. Bestimmung der Beschleunigung \(a\), die der Körper durch die Kraft erfährt (z.B. mit Hilfe eines Messwerterfassungssysstems oder durch eine Zeit-Orts-Messung der beschleunigten Bewegung).

3. Berechnen des Betrages \(F\) der Kraft mit der Formel \(F= m \cdot a\).

In der Praxis verwendet man zum Messen des Betrages einer Kraft allerdings die statische Kraftmessung mit Hilfe einer kalibrierten Federwaage.

Wenn wir mit dem Fahrrad fahren, müssen wir - selbst bei ebener Strecke - in die Pedale treten und Kraft ausüben, um eine konstante Geschwindigkeit aufrecht erhalten zu können.

 

Im Sinne von Aristoteles ist das Fahrradfahren eine "erzwungene Bewegung", ähnlich wie die Fortbewegung eines Ochsenkarrens, der nur fährt, wenn der Ochs mit einer Kraft zieht. Hört die Kraftwirkung auf, so kommt das Fahrrad oder der Ochsenkarren zum Stillstand. Die Thesen des alten Griechen scheinen mit unserer Alltagserfahrung gut überein zu stimmen.

Die Idealisierung des Versuchs mit der rollenden Stahlkugel führt uns zum Verständnis der Aussagen von Galilei und Newton, welche die gleichförmige Bewegung (der Ruhezustand mit v = 0 sei als Sonderfall mit eingeschlossen) im 17. Jahrhundert etwas genauer analysierten. Sie kamen zu einem ganz anderen Ergebnis als Aristoteles:


Die gleichförmige Bewegung ist der "Normalzustand" eines Körpers, für den es keinen resultierenden Kraftaufwand bedarf. Dieses Ergebnis wird im 1. Newtonschen Gesetz (Trägheitssatz) formuliert.

Trägheitssatz:

Alle Körper sind träge, d.h. ihr Geschwindigkeitsbetrag und ihre Geschwindigkeitsrichtung ändert sich nicht von selbst, sondern nur infolge der Einwirkung anderer Körper.

 

In der berühmten Schrift "Principia" von Newton lautet der Trägheitssatz:

Lex. I.
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. 

1. Gesetz:
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern

In den folgenden Bildern und Animationen sind zwei Situationen aus dem Straßenverkehr dargestellt, die eindrucksvoll die Trägheit von Körpern zeigen:

 
Prinzipielle Darstellung
Der gelbe bzw. rote Körper sitzt nur locker auf dem blauen Fahrzeug
Reale Situation

 

Hinweis:
Wie verträgt sich die gleichförmige Fahrt des Ochsenkarrens des Aristoteles mit dem Trägheitssatz von Newton?
Am Ochsenkarren halten sich die gegen die Fahrtrichtung wirkende Reibungskraft und die Zugkraft des Ochsen die Waage. Die resultierende Kraft auf den Ochsenkarren ist somit Null (im Einklang mit dem Trägheitssatz).

Auf den ersten Blick könnte man den Eindruck haben, dass die Aussage von Newton III das Gleiche ist, wie das Kräftegleichgewicht. Zwischen dem Wechselwirkungsprinzip und dem Kräftegleichgewicht besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied:

  • Actio und reactio greifen an verschiedenen Körpern an, sie können also nie im Gleichgewicht sein.
  • Kräftegleichgewicht an einem Körper kann bestehen, wenn die resultierende Kraft Null ist.

Hierzu sollte man sich den griffigen Satz (aus Dorn-Bader) merken:

Reactio muss, Gleichgewicht kann sein!

 

Damit Sie ein Gefühl dafür bekommen, wann actio und reactio einerseits und Kräftegleichgewicht andererseits vorliegen, betrachten Sie einige Beispiele:

actio gegengleich reactio

Kräftegleichgewicht


Die Kräfte greifen an verschiedenen Körpern an, können also nicht im Gleichgewicht sein. Aufgrund der wirkenden Kräfte ändert sich der Bewegungszustand der Skater, sie fahren aufeinander zu und
zwar unabhängig davon wer zieht.

Die Kraft des linken Autos und die des rechten Autos greifen an dem Klotz
in der Mitte des Abschleppseiles an. Sie greifen am gleichen Körper an.
Wenn ihre Beträge gleich groß sind, ändert der Klotz seinen Bewegungs-
zustand nicht.

Wie beim Originalversuch von Newton übt nicht nur der Magnet eine
Kraft auf den Nagel aus, sondern umgekehrt auch der Nagel auf den Magneten.

 


An der Hantel greift deren Gewichtskraft an und die Muskelkraft
des Gewichthebers.

 

Beispiel:
Die Hand hält mit der Kraft FHand über eine Schnur eine Federwaage, an der ein Körper hängt. Im linken Bild sind mit jeweils gleicher Farbe die Wechselwirkungskräfte dargestellt. Im rechten Bild sind in jeweils gleicher Farbe diejenigen Kräfte dargestellt, welche im Gleichgewicht sind.

Wechselwirkungskräfte

Gleichgewichtskräfte

 

 

Hinweis: Die reactio zur Handkraft ist nicht eingezeichnet

Das nebenstehend dargestellte Experiment soll schon Newton durchgeführt haben. Es zeigt, dass nicht nur der linke Körper eine Kraft auf den rechten Körper ausübt, sondern auch der rechte Körper auf den linken Körper. Dies gilt auch dann, wenn auf dem rechten Körper der Magnet durch ein Eisenstück ersetzt wird.

Sind die beiden Körper gleich schwer, so treffen sie sich stets in der Mitte. Ist der rechte Körper schwerer als der linke, so treffen sie sich rechts von der Mitte.

Newton formulierte die gewonnene Erkenntnis in seinem dritten Gesetz, das natürlich zu dieser Zeit in Latein formuliert wurde:

Lex III:
Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem, sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes dirigi.

Wörtliche Übersetzung:
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung entgegengesetzt gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

 

Eine Kraft (actio) kann also nach Newton III nie alleine auftreten, sie hat immer eine Gegenkraft (reactio), die an einem anderen Körper angreift.


Beide Personen sitzen auf Wägelchen. Unabhängig davon ob beide ziehen oder
nur einer zieht, sie treffen sich immer an der gleichen Stelle. Der Treffpunkt hängt
auch nicht davon ab, ob anstelle des Seils z.B. eine Gummiband verwendet wird.

Übt der Körper A eine Kraft \({\vec F_A}\) (actio) auf den Körper B aus, so übt B auf A die Gegenkraft \({\vec F_B}\) (reactio) aus. Kurz:

"actio gegengleich reactio"

Es gilt:

\[{\vec F_A} =  - {\vec F_B}\]

 

Das dritte Gesetz von Newton spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle. Zum Beispiel für die Fortbewegung:

 

Fortbewegung zu Lande:
Die Füße des Sprinters üben auf den Startblock die Kraft Fspr nach hinten aus (actio). Die reactio des Startblocks Fstbl setzt den Läufer in Bewegung.

 

Fortbewegung zu Wasser:
Die Ruderblätter üben eine Kraft auf das Wasser nach hinten aus (actio). Die reactio des Wassers übt über die Ruder eine Kraft auf das Boot aus, welches nach vorne bewegt wird.

 

 

Fortbewegung in der Luft:
Ähnlich wie beim Wasser die Ruderblätter übt hier der Propeller eine Kraft auf die Luft aus (sie wird entgegen der Flugrichtung bewegt). Die Luft ihrerseits übt dann die reactio auf das Flugzeug aus (Vortrieb).

Fortbewegung im Weltraum:
Bei den bisherigen Beispielen war die Fortbewegung möglich, da man sich von "etwas abdrücken" konnte. Dieses "Etwas" fehlt aber im Weltraum, daher muss man es mitbringen.

Bei der Rakete werden die Treibstoffgase durch die actio mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen. Die reactio des Treibstoffs beschleunigt die Rakete in Flugrichtung.

In seiner wichtigen Schrift Philosophiae naturalis Principia mathematica stellt NEWTON seine drei Grundgesetze (Axiome) der Mechanik vor. Wie zu dieser Zeit üblich ist diese Schrift in Latein geschrieben.

Aufgabe

Entnehmen Sie dem Titelblatt der Arbeit von NEWTON das Erscheinungsjahr.

 

 

 

 

 

1. Gesetz von Newton (lex prima): Trägheitsprinzip oder Trägheitsgesetz

2. Gesetz von Newton (lex secunda): Aktionprinzip oder Kraftgesetz

3. Gesetz von Newton (lex tertia): Reaktionsprinzip oder Wechselwirkungsgesetz

 

 

Newton und die Folgen
Mit Hilfe des zweiten newtonschen Gesetzes ist man in der Lage - bei Kenntnis der Anfangsbedingungen wie z.B. Anfangsort, Anfangsgeschwindigkeit usw. - die Bewegung eines Massenpunktes vorher zu sagen.

Kennt man all auf den Körper einwirkenden Kräfte, so kann man vektoriell die resultierende Kraft ermitteln:

\[{\vec F_{res}} = {\vec F_1} + {\vec F_2} + \,\,.\,\,.\,\,.\]

Nach dem Kraftgesetz von Newton lässt sich dann der Beschleunigungsvektor bestimmen:

\[{\vec F_{res}} = m \cdot \vec a \Rightarrow \vec a = \frac{{{{\vec F}_{res}}}}{m}\]

  • Besonders einfach wird die Vorhersage des Bewegungsablaufes dann, wenn die resultierende Kraft und die beschleunigte Masse zeitlich konstant sind. In diesem Spezialfall ergibt sich eine konstant beschleunigte Bewegung, für welche Sie im vorangegangenen Unterricht (Bayern: 9. Klasse) die Bewegungsgleichungen kennen gelernt haben. Mit Hilfe dieser Bewegungsgleichungen kann man den Ort und die Geschwindigkeit des Massenpunktes zu späteren Zeitpunktes vorhersagen.

    Zur Erinnerung seien die Bewegungsgleichungen für eine Dimension (hier x-Richtung) nochmals angeschrieben:
\[x(t) = {x_0} + {v_{0x}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_x \cdot {t^2}\]
\[v(t) = {v_{0x}} + a_x \cdot t\]
\[{a_x}(t) = konstant\]
\[{v^2} - v_{0x}^2 = 2 \cdot {a_x} \cdot x\]
x0: Anfangsort auf x-Achse; v0x: Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung; t: Zeit
  • Für den Fall, dass die resultierende Kraft nicht konstant ist, müsste man zur Vorhersage von Ort und Geschwindigkeit zu späteren Zeitpunkten mathematische Kenntnisse haben, die in der 10. Jahrgangsstufe in der Regel nicht zur Verfügung stehen. Allerdings gibt es im Computerzeitalter Möglichkeiten, wie man einfachere Fälle mit nicht konstanter Kraft auch am Gymnasium lösen kann (Methode der kleinen Schritt; Modellbildungs-Software). Auf der nächsten Materialseite wird darauf eingegangen.

Beispiel für die Anwendung der oben besprochenen Strategie:

 


Hinweise:

  • Bei Vorgabe der Neigungswinkel der schiefen Ebene kann man die Hangabtriebskraft FH aus der Gewichtskraft berechnen. Es gilt:

\[{F_H} = {F_g} \cdot \sin \alpha \]

  • Bei Vorgabe der Neigungswinkel der schiefen Ebene und Kenntnis der Reibzahl kann man die Fahrwiderstandskraft FW aus der Gewichtskraft berechnen. Es gilt:

\[\begin{array}{l}{F_w} = \mu  \cdot {F_N} \Rightarrow {F_w} = \mu  \cdot {F_g} \cdot \cos \alpha \\{F_N}:\,\,Normalkraft\end{array}\]

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