Untersuche, ob es möglich ist, einem Erdsatelliten eine Bahn zu geben, so dass er bei jedem Umlauf genau über München fliegt.
b)
Untersuche, ob es möglich ist, einem Erdsatelliten eine Bahn zu geben, so dass er bei zwei aufeinanderfolgenden Umläufen Punkte überfliegt, deren geographische Breiten gleich sind und deren geographische Längen um \(20^\circ \) differieren.
Es ist möglich, wenn die Umlaufdauer des Satelliten gerade einen Tag beträgt. In diesem Fall befindet sich der Satellit jeden Tag zum gleichen Zeitpunkt über München. Der Bahnradius ist mit \(4,2 \cdot {10^4}{\rm{km}}\) der eines geostationären Satelliten. Die Bahnebene enthält den Erdmittelpunkt und München.
b)
Diese Bedingung ist nicht erfüllbar, wenn sich die Erde während eines Umlaufs des Satelliten gedreht haben sollte. In diesem Fall müsste die Umlaufdauer \(\frac{{20}}{{360}}\) eines Tages also ca. \(80\) Minuten sein. Die kürzeste Umlaufzeit für einen Satelliten wäre jedoch dann gegeben, wenn er knapp über die Erdoberfläche streicht. Die Gravitationskraft auf der Erdoberfläche muss als Zentripetalkraft wirken, d.h.
\[{m_{\rm{S}}} \cdot {r_{\rm{E}}} \cdot {\omega ^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}}\]
Mit \(\omega = \frac{{2\pi }}{{{T_{{\rm{min}}}}}}\) bzw. \({\omega ^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T_{{\rm{min}}}}^2}}\) ergibt sich
\[{m_{\rm{S}}} \cdot {r_{\rm{E}}} \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T_{{\rm{min}}}}^2}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}} \Leftrightarrow {T_{{\rm{min}}}}^2 = \frac{{{r_{\rm{E}}}^3}}{{G \cdot {m_{\rm{E}}}}} \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{{r_{\rm{E}}}^3}}{{G \cdot {m_{\rm{E}}}}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{T_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {6,368 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}{\mkern 1mu} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}} = 84{\rm{min}}\]
Denkbar wäre ein Überflug dann, wenn er \(20^\circ \) östlich nach nahezu einem Tag weiterkommt, die Erde sich also \(\frac{{340}}{{360}}\) eines Tages während des Satellitenumlaufs weitergedreht hat.
Denkbar wäre ein Überflug an einem Ort \(20^\circ \) westlich am nächsten Tag,, wenn sich die Erde um \(\frac{{380}}{{360}}\) eines Tages weitergedreht hat.
