Im Jahre 1967 wurden mit einem Radioteleskop periodische Impulse mit ca. \(1\rm{s}\) Abstand aus dem Weltraum empfangen. Die ursprüngliche Vermutung, dass es sich hier um Signale außerirdischer Intelligenzen handelt, ist heute nicht mehr haltbar. Man ist sich sicher, dass die Impulse von schnell rotierenden massereichen Objekten mit relativ kleinem Radius stammen.
a)
Der Pulsar 4C21.51 hat eine Rotationszeit von \(1{,}6\,\rm{ms}\).
Berechne, welchen Radius dieser Pulsar höchstens aufweisen kann, wenn man bedenkt, dass die Rotationsgeschwindigkeit an der Oberfläche höchstens gleich der Lichtgeschwindigkeit sein kann.
b)
Damit der Stern nicht zerrissen wird, muss die Gravitationskraft, der er auf die Materie an seiner Oberfläche ausübt, größer sein als die für die Rotation erforderliche Zentripetalkraft.
Berechne, welche Dichte der Stern also mindestens hat.
c)
Man geht davon aus, dass eine Pulsar aus Neutronen aufgebaut ist (Neutronenstern).
Vergleiche die in Teilaufgabe b) berechnete Dichte mit der Dichte eines Neutrons (\({m_n} = 1{,}67 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}}\); \({r_n} \approx 1{,}2 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\)).
d)
Schätze die Masse eines Stecknadelkopfes aus Neutronenmaterie ab.
Berechne, wie viele PKW man bräuchte, damit man ungefähr die Masse dieses Stecknadelkopfes aus Neutronenmaterie erreicht.
Der Zusammenhang zwischen Rotationsgeschwindigkeit \(v\) und Rotationsdauer ist gegeben durch\[v = r \cdot \omega \Leftrightarrow r = \frac{v}{\omega } = \frac{v}{{\frac{{2 \cdot \pi }}{T}}} = \frac{{v \cdot T}}{{2 \cdot \pi }}\]Setzt man für \(v\) die Lichtgeschwindigkeit \(c = 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), so ergibt sich für \(r\)\[r = \frac{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{s}}}}{{2 \cdot \pi }} = 7,6 \cdot {10^4}{\rm{m}} = 76{\rm{km}}\]
b)
Aus der Grenzbedingung "Gravitationskraft = Zentripetalkraft" ergibt sich für einen Probekörper der Masse \({m_{\rm{K}}}\) und \({m_{\rm{P}}}\) für die Masse des Pulsars\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow G \cdot \frac{{{m_{\rm{K}}} \cdot {m_{\rm{P}}}}}{{{r^2}}} = {m_{\rm{K}}} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \Leftrightarrow {m_{\rm{P}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r^3}}}{{{T^2} \cdot G}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m_{\rm{P}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {7,6 \cdot {{10}^4}{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ - 3}}{{\rm{s}}^2} \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,0 \cdot {10^{32}}{\rm{kg}}\]und damit\[{\rho _{\rm{P}}} = \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{V} = \frac{{{m_{\rm{P}}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}}} \Rightarrow {\rho _{\rm{P}}} = \frac{{1,0 \cdot {{10}^{32}}{\rm{kg}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {{\left( {7,6 \cdot {{10}^4}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 5,5 \cdot {10^{16}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]
c)
Dichte eines Neutrons (würfelförmig angenommen):\[{\rho _{\rm{n}}} = \frac{{{m_{\rm{n}}}}}{V} = \frac{{{m_{\rm{n}}}}}{{{{\left( {2 \cdot {r_n}} \right)}^3}}} \Rightarrow {\rho _{\rm{n}}} = \frac{{1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 5,1 \cdot {10^{16}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]Die bei Teilaufgabe b) berechnete Pulsar-Dichte stimmt mit der Neutronendicht in der Größenordnung gut überein. Also ist die Annahme, dass es sich bei Pulsaren um Objekte handelt, die aus Neutronen aufgebaut sind, naheliegend.
d)
Für die Abschätzung werde angenommen, dass die Stecknadel würfelförmig ist (Sie können auch eine Kugel annehmen, das ändert nichts Wesentliches). Die Kantenlänge des Würfels sei \(a = 3 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\). Für die Masse \({m_{\rm{S}}}\) des Stecknadelkopfes gilt dann\[{m_{\rm{S}}} = {\rho _{\rm{P}}} \cdot {a^3} \Rightarrow {m_{\rm{S}}} = 5,5 \cdot {10^{16}}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {\left( {3 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}} \right)^3} = 1,5 \cdot {10^9}{\rm{kg}} = 1,5 \cdot {10^6}{\rm{t}}\]Geht man von davon aus, dass ein PKW die Masse \(1,5\rm{t}\) hat, so kommt man zum Ergebnis, dass ein Stecknadelkopf aus Pulsarmaterie die gleiche Masse hat wie 1 Million PKW.
