Komplexere Schaltkreise

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?

Wenn der Ersatzwiderstand bei Parallel- und Serienschaltung bekannt ist, kann man auch an die Berechnung komplexer Schaltungen gehen. Die Aufgabenstellung könnte z.B. so aussehen:

Aufgabe

Berechne bei gegebener Spannung \(U=10\rm{V}\) und bekannten Werten für die drei Widerstände (\({R_1} = 100\Omega \), \({R_2} = 200\Omega \), \({R_3} = 50\Omega \)) alle Ströme und alle Teilspannungen.

Die Reihenfolge der Berechnungen wird in der folgenden Animation dargestellt.

Zunächst wird der Ersatzwiderstand \({{R_{23}}}\) der Parallelschaltung der beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) bestimmt:
\[{\frac{1}{{{R_{23}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_2}}} = \frac{{{R_3} + {R_2}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} \Rightarrow {R_{23}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}}\]

Danach wird der Ersatzwiderstand \({R_{123}}\) für die Serienschaltung von \({{R_1}}\) und \({{R_{23}}}\) bestimmt:
\[ R_{123} = R_{1} + R_{23} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert für \({R_{123}}\)
\[{R_{123}} = {R_1} + \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} \Rightarrow {R_{123}} = 100\Omega  + \frac{{200\Omega  \cdot 50\Omega }}{{200\Omega  + 50\Omega }} = 100\Omega  + 40\Omega  = 140\Omega \]
Damit ergibt sich für \(I_1\)
\[{I_1} = \frac{U}{{{R_{123}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{10{\rm{V}}}}{{140\Omega }} = 71{\rm{mA}}\]

Weiter ergibt sich für \(U_1\)
\[{{\rm{U}}_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {{\rm{U}}_1} = 71 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} \cdot 100\Omega  = 7,1{\rm{V}}\]

Da die beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) parallel geschaltet sind, ist die Spannung, die an ihnen anliegt gleich. Damit ergibt sich nach der Maschenregel
\[{U_2} = {U_3} = U - {U_1} \Rightarrow {U_2} = {U_3} = 10{\rm{V}} - 7,1{\rm{V}} = 2,9{\rm{V}}\]
Weiter ergibt sich für die Ströme \(I_2\) und \(I_3\)
\[{I_2} = \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{2,9{\rm{V}}}}{{200\Omega }} = 15{\rm{mA}}\]
und schließlich aufgrund der Knotenregel
\[{I_3} = {I_1} - {I_2} \Rightarrow {I_3} = 71{\rm{mA}} - 15{\rm{mA}} = 56{\rm{mA}}\]

Zusammenstellung wichtiger Beziehungen der Elektrizitätslehre

Phänomene

Beziehungen

Grafik

Ladung und Strom

\[\begin{array}{l}{\rm{Strom}}\quad \quad I\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit}}:\;\;\left[ I \right] = 1{\rm{A}}\\{\rm{Ladung}}\quad {\rm{ }}Q\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit:}}\;\;\left[ Q \right] = 1{\rm{As}} = 1{\rm{C}}\\\\\quad \quad \quad {\rm{Zusammenhang: }}\Delta Q = I \cdot \Delta t\end{array}\]

Definition des Widerstandes
\[\begin{array}{l}\quad R: = \frac{U}{I}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit}}:\;\left[ R \right] = 1\Omega \\{\rm{weitere}}\;{\rm{Formen:}}\\U = R \cdot I\quad {\rm{und}}\quad I = \frac{U}{R}\end{array}\]

nicht "gymnasial"
Gesetz von Ohm

\( U \sim I \)

oder

\(R\) = konstant, unabhängig von \(I\)

Knotenregel
Summe der zum Knoten hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knoten wegfließende Ströme
Maschenregel

Summe der Teilspannungen ist gleich der Gesamtspannung

z.B. \( U = U_{1} + U_{2} \) oder

\( U = U_{1} + U_{3} + U_{4} \)

Wichtige Details

Spannungsteilung:

\[\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\]

Stromteilung:

\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\]

 

Ersatzwiderstand bei

Serienschaltung

\[R = {R_1} + {R_2} + \;.\;.\;. + {R_n}\]

Ersatzwiderstand bei

Parallelschaltung

\[\frac{1}{{{R}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;.\;.\;. + \frac{1}{{{R_n}}}\]

Elektrische Arbeit

und

Leistung

\[\begin{array}{l}{W_{el}} = U \cdot I \cdot t\\\quad \;\;\;\left[ {{W_{el}}} \right] = 1{\rm{J}} = 1{\rm{Ws}}\\\\\quad \quad \quad {P_{el}} = U \cdot I\\\quad \;\;\;\left[ {{P_{el}}} \right] = 1{\rm{W}} = 1\frac{{\rm{J}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

Spezifischer Widerstand

 


\[R = \frac{{\rho \cdot l}}{A}\quad \quad \left[ \rho \right] = \Omega \cdot \frac{{{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\]

 

 

Innenwiderstand

von Stromquellen


Klemmenspannung:
\[{U_{kl}} = {U_0} - I \cdot {R_i}\]

Kurzschlussstrom:
\[{I_{\max }} = \frac{{{U_0}}}{{{R_i}}}\]


In umfangreichen Schaltungen mit Widerständen stößt man immer auf die zwei fundamentalen Kombinationen von Widerständen, die Serienschaltung und die Parallelschaltung. Wenn man nun weiß, wie man den Ersatzwiderstand von Widerständen, die seriell bzw. parallel geschaltet sind, berechnet, so ist man in der Lage auch in komplexen Anordnungen sämtliche Teilströme und Teilspannungen zu bestimmen.

Serienschaltung

Parallelschaltung


R12 ist Ersatzwiderstand der Serienschaltung von R1 und R2, da von der Spannungsquelle aus gesehen der gleiche Strom aus der Quelle fließt.

 

Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes R12 geht man vom gemeinsamen Strom der durch die Widerstände fließt und von der Maschenregel aus:

Für die linke Schaltung besagt die Maschenregel:

\[\begin{array}{l}U = {U_1} + {U_2}\quad \Rightarrow \quad U = I \cdot {R_1} + I \cdot {R_2}\quad \Rightarrow \\U = I \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_1} + {R_2}\quad \left( 1 \right)\end{array}\]

Für die Ersatzschaltung gilt:

\[U = I \cdot {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_{12}}\quad \left( 2 \right)\]

Der Vergleich von (1) und (2) ergibt:

\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]

Für die Serienschaltung von n Widerständen gilt:

\[{R_{ersatz}} = {R_1} + {R_2} + \;.\;.\;. + {R_n}\]

 

Merke:
Der Wert des Ersatzwiderstands einer Serienschaltung ist stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.

R12 ist Ersatzwiderstand der Parallelschaltung von R1 und R2, da von der Spannungsquelle aus gesehen der gleiche Strom aus der Quelle fließt.

 

Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes R12 geht man von der gemeinsamen Spannung die an beiden Widerständen liegt und von der Knotenregel aus:

Für die linke Schaltung besagt die Knotenregel:

\[\begin{array}{l}I = {I_1} + {I_2}\quad \Rightarrow \quad I = \frac{U}{{{R_1}}} + \frac{U}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \\I = U \cdot \left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \left( 1 \right)\end{array}\]

Für die Ersatzschaltung gilt:

\[U = I \cdot {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_{12}}}}\quad \left( 2 \right)\]

Der Vergleich von (1) und (2) ergibt:

\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]

Für die Parallelschaltung von n Widerständen gilt:

\[\frac{1}{{{R_{ersatz}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;.\;.\;. + \frac{1}{{{R_n}}}\]

Merke:
Der Wert des Ersatzwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.


Unterschiedliche Leiter besitzen in der Regel unterschiedliche Kennlinien.

 

 


 
Links die U-I-Kennlinie
Die U-I-Kennlinie (Rechswertachse: U; Hochwertachse: I) erhält man dann, wenn die Spannung als unabhängige Größe eingestellt und der Strom als davon abhängige Größe gemessen wird.
 
Rechts die I-U-Kennlinie
Bei der I-U-Kennlinie ist nun die Rechtswertachse mit dem Strom I belegt. Bei ihr ergibt sich der Widerstand direkt aus der Geradensteigung bzw. aus der Steigung der Tangente an die Kennlinie.

Bei Leitern, die als Kennlinie eine Ursprungsgerade besitzen, bei denen also Strom und Spannung zueinander proportional sind, gilt das ohmsche Gesetz.

\[U \sim I\quad {\rm{oder}}\quad \frac{U}{I} = {\rm{const}}{\rm{.}}\]

Die Kennlinien von Leitern, die dem ohmschen Gesetz gehorchen sind also Ursprungsgeraden. Drähte aus dem Material Konstantan oder Metalldrähte, welche auf konstanter Temperatur gehalten werden, erfüllen das Gesetz von Ohm sehr gut.


\[\frac{U}{I} = R\]

ist nicht das Gesetz von Ohm

Es ist vielmehr die Definition des Widerstandes. Nach dieser Definition kann in jedem Punkt - auch einer gebogenen - Kennlinie der Widerstandswert berechnet werden.
Nur wenn dieser längs der Kurve stets den gleichen Wert hat (dies ist bei einer Ursprungsgerade der Fall) gilt das ohmsche Gesetz. Aus dem I-U-Diagramm kann der Widerstandswert R über die Steigung ermittelt werden.


Aufgabe

Gegeben sind die nebenstehenden \(I\)-\(U\)-Kennlinien, welche im Ursprung des Koordinatensystems die gleiche Steigung besitzen.

a)

Skizziere qualitativ den Verlauf der Kennlinien im \(I\)-\(R\)-Diagramm.

b)

Berechne den Widerstandswert des Konstantandrahtes (1).

c)

Der Konstantandraht (1) und der Eisendraht (2) werden nun hintereinander (in Serie) an eine Stromquelle angeschlossen. Diese wird so eingestellt, dass ein Strom von \(1,0\rm{A}\) fließt.

Berechne die Spannung an der Stromquelle.

 

Die nach ihrem Entdecker Gustav Robert KIRCHHOFF benannten Gesetze für Stromkreise werden am untenstehenden Beispiel entwickelt. Sie gelten natürlich für alle Widerstandsnetzwerke.


1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.
\[ I_{1} = I_{2} + I_{3} \]

 

Multipliziert man die Gleichung mit der Zeit \(t\), so kommt man zum Satz über die Ladungserhaltung:
\[ Q_{1} = Q_{2} + Q_{3} \]
Damit kann man die KIRCHHOFFsche Knotenregel auch so interpretieren:

"Im Stromkreis gibt es keine Quellen und Senken für die elektrische Ladung".

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Verfolgt man einen Stromweg (im Beispiel: entweder "blauer Weg" oder "lila Weg") von dem einen Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der Quelle.
\[U = U_1 + U_2\;\rm{oder}\;U = U_1 + U_3 + U_4\]

 

Auch hinter der Maschenregel steckt wieder ein Erhaltungssatz. Multipliziert man die Spannung mit der Ladung \(Q\), die durch den Kreis transportiert wird, so erhält man eine Arbeit, z.B..
\[Q \cdot U = Q \cdot U_1 + Q \cdot U_2\]
Damit kann man die KIRCHHOFFsche Maschenregel auch so interpretieren:

"Die Energie, welche die Ladung \(Q\) in der Spannungsquelle erhält, ist gleich den Energien, welche sie auf einem Weg ("blau" oder "lila") zum anderen Pol bei den Widerständen verliert."

                           

Die Aussagen der Knoten- und der Maschenregel kann man sich am entsprechenden Wassermodell klarmachen:

An jedem Verzweigungspunkt der Leitung fließen genau so viele Wasserteilchen fort wie ankommen, es gehen keine Wasserteilchen verloren und es kommen keine zusätzlichen Wasserteilchen hinzu.

Wasserteilchen bekommen durch die Wasserpumpe potenzielle Energie, die sie auf einem Weg über die Turbinen wieder verlieren. Egal, ob die Wasserteilchen den linken Weg oder den rechten Weg gehen, sie verlieren immer den gleichen Betrag an potenzieller Energie.

 

Will man Strom bzw. Spannung in einem elektrischen Stromkreis wissen, so baut man Strom- bzw. Spannungsmesser ein.

Strommessung

Will man den Strom an einer bestimmten Stelle (z.B. Stelle 1) des Stromkreises wissen, so trennt man den Stromkreis an dieser Stelle auf und baut den Strommesser in den Kreis (Serienschaltung).

Hinweis: Damit der Strom durch den Einbau des Strommessers nur wenig verfälscht wird, muss der Innenwiderstand des Strommessers vernachlässigbar klein sein.

Spannungsmessung

Will man die Spannung einer Quelle oder die an einem Widerstand liegende Spannung wissen, so schaltet man den Spannungsmesser an das Element (Parallelschaltung).

Hinweis: Damit möglichst wenig Strom durch den parallelgeschalteten Spannungsmesser abgezweigt wird, muss der Innenwiderstand des Spannungsmessers möglichst hoch sein.

Aufgabe

In rechts abgebildeten Stromkreis soll der Strom \(I_0\) der aus der Quelle fließt und der Strom \(I_3\) durch die Lampe \(\rm{L}_3\) gemessen werden. Außerdem soll die Spannung \(U_1\), die an der Lampe \(\rm{L}_1\) anliegt, festgestellt werden. Gib eine richtige Schaltung an.

Zum nebenstehend skizzierten Knotenpunkt in einer Schaltung laufen mehrere Leitungen. Vereinbahrt man, dass die zum Knoten hinfließenden Ströme positiv und die vom Knoten wegfließenden Ströme negativ gezählt werden, so gilt in dem Beispiel
\[{I_1} + {I_2} + {I_3} + {I_4} + {I_5} = 0\]
Die Verallgemeinerung der Knotenregel lautet dann

1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt (Knoten) eines Stromkreises ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Ströme gleich Null.
\[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_n} = 0\]

 

Bei einfacheren Stromkreisen (Mittelstufe) mit nur einer Spannungsquelle wurde die Maschenregel in der folgenden Form formuliert:

Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der Teilspannungen auf einem Weg vom Pluspol zum Minuspol der Quelle

Bei komplexeren Netzwerken mit mehreren Quellen und Widerständen und evtuell mehreren Maschen (eine Masche oder auch Stromschleife besteht i.a. aus mehreren elektrischen Bauteilen und Spannungsquellen, die so angeordnet sind, dass sich ein geschlossener Stromkreis ergibt) hat es - ähnlich wie mit den Strömen bei der Knotenregel - bewährt, nicht mehr nur von positiven Spannungen auszugehen.

Zunächst soll der die Änderung der potententiellen Einergie einer positiven Ladung \(q\) beim Durchwandern des nebenstehend skizzierten Kreises von Punkt A aus betrachtet werden:

Im Widerstand \(R_1\) verliert die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,1}}} = q \cdot {U_1}\), analog geht beim Durchwandern des Widerstandes \(R_2\) die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,2}}} = q \cdot {U_2}\) verloren. Beim Durchlaufen der Spannungsquelle gewinnt die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,bat}}} = q \cdot {U_{\rm{bat}}}\). Bei Wiederankunft im Punkt A hat die Ladung wieder die gleiche potentielle Energie wie zu Beginn des Durchlaufs. Fachmännischer ausgedrückt sagt man: "Die Ladung ist wieder auf dem gleichen Potential".

Das oben Gesagte wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
\[q \cdot {U_1} + q \cdot {U_2} + q \cdot {U_{\rm{bat}}} = 0\]
Dividiert man diese Gleichung durch \(q\), so erhält man: \({U_1} + {U_2} + {U_{\rm{bat}}} = 0\). Diese Gleichung lässt sich nur erfüllen, wenn man für die Spannung positive und negative Werte zulässt.

Die Maschenregel von KIRCHHOFF lässt sich allgemein in der Form schreiben:

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Beim Durchlaufen einer Masche in einem willkürlich gewählten Durchlaufsinn ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Spannungen gleich Null.
\[{U_1} + {U_2} + {U_3} + ... + {U_n} = 0\]

 

Wie man mit den KIRCHHOFFschen Regeln bei komplexen Stromkreisen sicher umgehen kann, wird an zwei Beispielen erläutert.

Beispiel 1: Stromkreis mit einer Masche

   

Um die technische Stromrichtung in der skizzierten Schaltung vorhersagen zu können, müsste man die Beträge der Batteriespannungen kennen. Für eine allgemeine Rechnung kann man die Richtung des Stromes einfach willkürlich festlegen; meist gibt man jedoch die technische Stromrichtung "von Plus nach Minus" vor. Ergibt sich bei der Rechnung ein positiver Wert für den Strom \(I\), so fließt der Strom in Pfeilrichtung. Ergibt sich ein negativer Stromwert, so fließt der Strom entgegen der gewählten Pfeilrichtung. Alle Spannungspfeile, die in Durchlaufrichtung zeigen, werden positiv gezählt. Spannungspfeile, die entgegen den Durchlaufsinn zeigen, werden negativ gezählt. Wir stellen hier drei verschiedene Ansätze vor, die aber alle zum gleichen Ergebnis führen.

gegeben: \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| = 12{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| = 9{\rm{V}}\), \({R_1} = 3\Omega \), \({R_2} = 8\Omega \) und \({R_3} = 4\Omega \)

gesucht: \(I\)

Ansatz 1: Allgemeine Berechnung des Stroms mit Hilfe der rechts dargestellten Pfeilwahl

Wir wenden die Maschenregel an:
\[\begin{eqnarray} - \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| + {U_1} + \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| + {U_2} + {U_3} &=& 0\\ - 12{\rm{V}} + I \cdot 3\Omega + 9{\rm{V}} + I \cdot 8\Omega + I \cdot 4\Omega &=& 0\\I \cdot \left( {3\Omega + 8\Omega + 4\Omega } \right) &=& 12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}\\I &=& \frac{{12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}}}{{3\Omega + 8\Omega + 4\Omega }} = \frac{{3{\rm{V}}}}{{15\Omega }} = 0,2{\rm{A}}\end{eqnarray}\]
Um zu zeigen, dass weder die Wahl der Stromrichtung noch die des Druchlaufsinns einen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden noch zwei weitere Ansätze durchgeführt.

   

Aufgabe: Stromkreis mit drei Maschen

Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Daten \(\left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| = 10,8{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| = 3,2{\rm{V}}\), \({R_1} = 6,0\Omega \), \({R_2} = 8,0\Omega \) und \({R_3} = 4,0\Omega \).

a)

Verdeutliche in der obigen Schaltskizze, dass die Schaltung 3 Maschen und 2 Knoten aufweist.

b)

Berechne aus den gegeben Daten die Stromstärken \(I\), \(I_2\) und \(I_3\).

c)

Berechne die Spannungen, die über den Widerständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) anliegen.

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