In umfangreichen Schaltungen mit Widerständen stößt man immer auf die zwei fundamentalen Kombinationen von Widerständen, die Reihenschaltung und die Parallelschaltung. Wenn man nun weiß, wie man den Ersatzwiderstand von Widerständen, die in Reihe bzw. parallel geschaltet sind, berechnet, so ist man in der Lage auch in komplexen Anordnungen sämtliche Teilströme und Teilspannungen zu bestimmen.
Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Reihenschaltung
Joachim Herz Stiftung
Reihenschaltung von Widerständen
Schalten wir zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) in Reihe, dann berechnet sich der Ersatz- oder Gesamtwiderstand \(R_{12}\) durch\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]Für die Reihenschaltung von \(n\) Widerständen gilt\[{R_{\rm{ges}}} = {R_1} + {R_2} + \;... + {R_n}\]Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Reihenschaltung ist stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.
Ableitung der Regel aus einem Experiment
Wir bezeichnen den Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Reihenschaltung von \(R_1\) und \(R_2\) mit \(R_{12}\). Besonders bei mehr als zwei Widerständen wird der Gesamtwiderstand oft mit \(R_{\rm{ges}}\) bezeichnet. Diesen Ersatzwiderstand \(R_{12}\) können wir berechnen, indem wir für die linke Schaltung zwei Erkenntnisse aus einem Experiment nutzen:
- Durch beide Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) fließt der gleiche Strom; seine Stärke bezeichnen wir mit \(I\).
- Addiert man die beiden Spannungen \(U_1\) und \(U_2\), so ergibt sich die Spannung \(U\).
Hinweis: Diese beiden Erkenntnisse ergeben sich auch aus der Knoten- und der Maschenregel von KIRCHHOFF.
Für die linke Schaltung ergibt sich dann zusammen mit dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& {U_1} + {U_2}\\ &=& I \cdot {R_1} + I \cdot {R_2}\\ &=& I \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\end{eqnarray}\]und damit\[\frac{U}{I} = {R_1} + {R_2}\quad (1)\]Für die rechte Ersatzschaltung gilt nach dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& I \cdot {R_{12}}\\ \Leftrightarrow \frac{U}{I} &=& {R_{12}} \quad (2)\end{eqnarray}\]Der Vergleich von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]Der Wert des Ersatzwiderstands \(R_{12}\) ist also stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.
Mathematische Hilfen
Um Aufgaben zur Reihenschaltung von Widerständen zu lösen musst du häufig die Gleichung \({{R_{{\rm{ges}}}} = {R_1} + {R_2}}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\color{Red}{{R_1}}} + {{R_2}} = {{R_{\rm{ges}}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{{R_1}} + {\color{Red}{{R_2}}} = {{R_{\rm{ges}}}}\]