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Grundwissen

Reihenschaltung von Widerständen

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In umfangreichen Schaltungen mit Widerständen stößt man immer auf die zwei fundamentalen Kombinationen von Widerständen, die Reihenschaltung und die Parallelschaltung. Wenn man nun weiß, wie man den Ersatzwiderstand von Widerständen, die in Reihe bzw. parallel geschaltet sind, berechnet, so ist man in der Lage auch in komplexen Anordnungen sämtliche Teilströme und Teilspannungen zu bestimmen.

Abb. 2 Zielsetzung bei der Berechnung des Ersatzwiderstandes einer Reihenschaltung zweier Widerstände
Reihenschaltung von zwei Widerständen

Wir bezeichnen den Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Reihenschaltung von \(R_1\) und \(R_2\) mit \(R_{12}\). Diesen Ersatzwiderstand \(R_{12}\) können wir berechnen, indem wir für die linke Schaltung zwei Erkenntnisse aus dem Experiment nutzen:

Durch beide Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) fließt der gleiche Strom; seine Stärke bezeichen wir mit \(I\).

Addiert man die beiden Spannungen \(U_1\) und \(U_2\), so ergibt sich die Spannung \(U\).

Hinweis: Diese beiden Erkenntnisse ergeben sich auch aus der Knoten- und der Maschenregel von KIRCHHOFF.

Für die linke Schaltung ergibt sich dann zusammen mit dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& {U_1} + {U_2}\\ &=& I \cdot {R_1} + I \cdot {R_2}\\ &=& I \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\end{eqnarray}\]und damit\[\frac{U}{I} = {R_1} + {R_2}\quad (1)\]Für die rechte Ersatzschaltung gilt nach dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& I \cdot {R_{12}}\\ \Leftrightarrow \frac{U}{I} &=& {R_{12}} \quad (2)\end{eqnarray}\]Der Vergleich von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]Der Wert des Ersatzwiderstands \(R_{12}\) ist also stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.

Reihenschaltung von Widerständen

Schalten wir zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) in Reihe, dann berechnet sich der Ersatz- oder Gesamtwiderstand \(R_{12}\) durch\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]Für die Reihenschaltung von \(n\) Widerständen gilt\[{R_{\rm{ges}}} = {R_1} + {R_2} + \;... + {R_n}\]Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Reihenschaltung ist stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Reihenschaltung von Widerständen zu lösen musst du häufig die Gleichung \({{R_{{\rm{ges}}}} = {R_1} + {R_2}}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}} = {{R_1}} + {{R_2}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{R_{\rm{ges}}}} = \color{Red}{{R_1}} + {{R_2}}\]nach \(\color{Red}{{R_1}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\color{Red}{{R_1}} + {{R_2}} = {{R_{\rm{ges}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \({{{R_2}}}\).\[\color{Red}{{R_1}} = {{R_{\rm{ges}}}} - {{R_2}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R_1}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{R_{\rm{ges}}}} = {{R_1}} + \color{Red}{{R_2}}\]nach \(\color{Red}{{R_2}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{{R_1}} + \color{Red}{{R_2}} = {{R_{\rm{ges}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \({{{R_1}}}\).\[\color{Red}{{R_2}} = {{R_{\rm{ges}}}} - {{R_1}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{R_2}}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Gleichung \({{R_{{\rm{ges}}}} = {R_1} + {R_2}}\) nach den drei in der Formel auftretenden Größen.