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Grundwissen

Parallelschaltung von Widerständen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Für den Gesamtwiderstand \(R_{12}\) zweier parallel geschalteter Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) gilt: \(\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2}\)
  •  Der Gesamtwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand eines Astes.
Aufgaben Aufgaben

Ersatz- oder Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung

Schaltest du wie in Abb. 1 in einem Stromkreis zu einem Widerstand \(R_1\) einen zweiten Widerstand \(R_2\) parallel, so nimmt der Gesamtwiderstand \(R_{12}\) des Stromkreises ab, da nun ein zweiter möglicher Weg für den Strom existiert. Der Gesamtwiderstand \(R_{12}\) ist daher stets kleiner, als der kleinste Einzelwiderstand eines parallelgeschalteten Astes. Es gilt \(\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\).

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Gesamtwiderstand in einer Parallelschaltung
Parallelschaltung von Widerständen

Schalten wir zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) parallel, dann berechnet sich der Ersatz- oder Gesamtwiderstand \(R_{12}\) durch\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Für die Parallelschaltung von \(n\) Widerständen gilt\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;... + \frac{1}{{{R_n}}}\]Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.

Ableitung der Regel aus einem Experiment

Wir bezeichnen den Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Parallelschaltung von \(R_1\) und \(R_2\) mit \(R_{12}\). Diesen Ersatzwiderstand \(R_{12}\) können wir berechnen, indem wir für die linke Schaltung in Abb. 1 zwei Erkenntnisse aus dem Experiment nutzen:

  • Über beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) fällt die gleiche Spannung \(U\) ab.
  • Addiert man die beiden Stromstärken \(I_1\) und \(I_2\), so ergibt sich die Stromstärke \(I\).

Diese beiden Erkenntnisse ergeben sich auch aus der Maschen- und der Knotenregel von KIRCHHOFF.

Für die linke Schaltung ergibt sich dann zusammen mit dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}I &=& {I_1} + {I_2}\\ &=& \frac{U}{{{R_1}}} + \frac{U}{{{R_2}}}\\ &=& U \cdot \left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\end{eqnarray}\]und damit\[{\frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}\quad (1)\]Für die rechte Ersatzschaltung gilt nach dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& I \cdot {R_{12}}\\ \Leftrightarrow \frac{I}{U} &=& \frac{1}{{{R_{12}}}}\quad (2)\end{eqnarray}\]Der Vergleich von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Man kann leicht zeigen, dass der Wert des Ersatzwiderstands \(R_{12}\) stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands ist.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Parallelschaltung von Widerständen zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Um die Gleichung\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]nach \({\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}} \cdot {{R_2}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}\cdot {{R_1}}} = \frac{{{R_2}}+{{R_1}}}{{{R_1}}\cdot {{R_2}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_1}} \cdot {{R_2}}}{{{R_2}}+{{R_1}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{\color{Red}{{R_1}}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]nach \({\color{Red}{{R_1}}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_1}}}} + \frac{1}{{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{R_2}}}\).\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_1}}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} - \frac{1}{{{R_2}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_1}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_2}}} - \frac{{{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_2}}\cdot {{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_2}} - {{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_{\rm{ges}}}}\cdot {{R_2}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{{\color{Red}{{R_1}}}} = \frac{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_2}}}{{{R_2}} - {{R_{\rm{ges}}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{R_1}}}\) aufgelöst.
Um die die Gleichung\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{\color{Red}{{R_2}}}}\]nach \({\color{Red}{{R_2}}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{\color{Red}{{R_2}}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{R_1}}}\).\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_2}}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} - \frac{1}{{{R_1}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{R_2}}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_1}}} - \frac{{{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_1}}\cdot {{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_1}} - {{R_{\rm{ges}}}}}{{{R_{\rm{ges}}}}\cdot {{R_1}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{{\color{Red}{{R_2}}}} = \frac{{{R_{\rm{ges}}}} \cdot {{R_1}}}{{{R_1}} - {{R_{\rm{ges}}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{R_2}}}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Gleichung \(\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\) nach den drei in der Formel auftretenden Größen