Ersatz- oder Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung
Schaltest du wie in Abb. 1 in einem Stromkreis zu einem Widerstand \(R_1\) einen zweiten Widerstand \(R_2\) parallel, so nimmt der Gesamtwiderstand \(R_{12}\) des Stromkreises ab, da nun ein zweiter möglicher Weg für den Strom existiert. Der Gesamtwiderstand \(R_{12}\) ist daher stets kleiner, als der kleinste Einzelwiderstand eines parallelgeschalteten Astes. Es gilt \(\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\).
Parallelschaltung von Widerständen
Schalten wir zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) parallel, dann berechnet sich der Ersatz- oder Gesamtwiderstand \(R_{12}\) durch\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Für die Parallelschaltung von \(n\) Widerständen gilt\[\frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;... + \frac{1}{{{R_n}}}\]Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.
Ableitung der Regel aus einem Experiment
Wir bezeichnen den Ersatz- oder Gesamtwiderstand der Parallelschaltung von \(R_1\) und \(R_2\) mit \(R_{12}\). Diesen Ersatzwiderstand \(R_{12}\) können wir berechnen, indem wir für die linke Schaltung in Abb. 1 zwei Erkenntnisse aus dem Experiment nutzen:
- Über beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) fällt die gleiche Spannung \(U\) ab.
- Addiert man die beiden Stromstärken \(I_1\) und \(I_2\), so ergibt sich die Stromstärke \(I\).
Diese beiden Erkenntnisse ergeben sich auch aus der Maschen- und der Knotenregel von KIRCHHOFF.
Für die linke Schaltung ergibt sich dann zusammen mit dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}I &=& {I_1} + {I_2}\\ &=& \frac{U}{{{R_1}}} + \frac{U}{{{R_2}}}\\ &=& U \cdot \left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\end{eqnarray}\]und damit\[{\frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}\quad (1)\]Für die rechte Ersatzschaltung gilt nach dem OHMschen Gesetz\[\begin{eqnarray}U &=& I \cdot {R_{12}}\\ \Leftrightarrow \frac{I}{U} &=& \frac{1}{{{R_{12}}}}\quad (2)\end{eqnarray}\]Der Vergleich von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]Man kann leicht zeigen, dass der Wert des Ersatzwiderstands \(R_{12}\) stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands ist.
Mathematische Hilfen
Um Aufgaben zur Parallelschaltung von Widerständen zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\frac{1}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.
Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_{\rm{ges}}}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}} \cdot {{R_2}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}\cdot {{R_1}}} = \frac{{{R_2}}+{{R_1}}}{{{R_1}}\cdot {{R_2}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{\color{Red}{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{\color{Red}{{R_2}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{ges}}}}}\]