Quantenmech. Atommodell

Atomphysik

Quantenmech. Atommodell

  • Was versteht man unter einem Potentialtopf?
  • Warum spricht man von Orbitalen?
  • Welche Ergebnisse liefert die SCHRÖDINGER-Gleichung?
Der Versuch:
Man bestreut eine an einem Punkt eingespannte Metallplatte mit Sand und bringt sie mit Hilfe eines Geigenbogens in Schwingungen. Auf diese Weise kann man die Schwingungsknotenlinien der Klangfiguren erkennen, weil der Sand in den Schwingungsbäuchen tanzt und sich in den ruhigen Schwingungsknoten sammelt. Es entstehen dabei je nach Art der Anregung und der Festhaltung unterschiedliche, die Eigenschwingungen des Blechs charakterisierende Linien mit interessanten Symmetrien.
Der Wissenschaftler:
Ernst Florenz Friedrich Chladni wurde am 30.11 1756 in Wittenberg geboren. Nach dem Schulbesuch in Grimma studierte er zunächst auf Drängen des Vaters Philosophie und Rechtswissenschaften in Wittenberg und Leipzig. Nach dem Tode des Vaters wandte er sich den Naturwissenschaften zu und strebte eine Mathematik-Professur in Wittenberg an. Nachdem daraus nichts wurde, machte er sich durch selbständige wissenschaftliche Leistungen einen Namen. Er begründete die experimentelle Akustik und entdeckte die nach ihm benannten chladnischen Klangfiguren. Er unternahm Vortragsreisen, auf denen er mit dem selbst entwickelten Musikinstrument Euphon (Glasstäbe mit unterschiedlicher Länge) Töne erzeugte und damit die Klangfiguren darstellte. Außerdem erkannte Chladni, dass Meteoriten keine irdischen atmosphärischen Erscheinungen, sondern Himmelskörper sind. 1819 erschien sein Buch "Über Feuermeteore". Durch seine präzise Arbeit gilt er als Begründer der Meteoritik. Er starb am 3. April. 1827 in Breslau.


Cladni führt Napoleon
seine Figuren vor

Die Bedeutung für die Atomphysik:
Der Versuch eignet sich sehr gut, das Verhalten von Wellen in einem eingegrenzten mehr als eindimensionalen Raum zu erkennen. Die dem Versuch zugrundeliegende Theorie lässt sich anschaulich als sich überlagernde zweidimensionale Wellen erklären, doch ist auch die zweidimensionale Wellengleichung und die zugehörigen Randwertbedingungen mathematisch für Schüler noch nicht zugänglich.
Der Versuch zeigt sehr schön, dass die Lage von Knotenlinien vor allem von der Form des Klangkörpers, der Art der Einspannung und der anregenden Frequenz abhängt. Das Ergebnis aller Versuche sind Knotenlinien und damit auch Bäuche mit eindrucksvollen Symmetrien und zum Teil interessanten Formengebungen, die schon Chladni aufgezeichnet hat.
Tonerzeugung mit Lautsprecher:
Die nebenstehenden Bilder der Universität von Kalifornien in San Diego wurden durch einen die Klangplatte anregenden Lautsprecher erzeugt.
Historische Chladni-Platten:
Nebenstehende historische Chladni-Platten findet man auf einer Seite des Service d'Histoire de l'Education , dem französischen Institut für Geschichte der Bildung.
TUM-Aufnahmen:
Zum Abschluss noch fünf schöne Figuren, aufgenommen von Herrn Kressier - TU München.
      

Auf den sehr interessanten und medial hervorragend gestalteten Seiten von PHYSIK 2000, die von der Universität Bonn übersetzt wurden, gibt es ein interessantes Applet, das Quantenübergänge aus der Sicht des bohrschen und schrödingerschen Modells gegenüberstellt. Leider läuft das JAVA-Applet nicht unter JAVA 7, aber unter älteren JAVA-Versionen.

  • Im linken Bild sind die Energieniveaus des Elektrons im Bohrmodell dargestellt.

  • Das mittlere Bild stellt die möglichen Bahnen des Elektrons im Bohrmodell dar (was aus quantenmechanischer Sicht natürlich nicht richtig ist).

  • Das rechte Bild stellt den nach Schrödinger berechnete Aufenthaltsraum (Orbital) des Elektrons aus quantenmechanischer Sicht dar.

Wenn Sie mit der Maus im mittleren Bild auf eine nicht besetzte Bahn klicken, dann geht das Elektron auf diese Bahn. Dabei sehen Sie gleichzeitig was sich im Energieniveauschema (rechts) und in der Darstellung des Orbitals ändert.

Sie können sich bei dieser Gelegenheit das ganze Kapitel über das Quantenatom betrachten.

Die University of Colorado stellt im Rahmen des PhET-Projektes eine sehr aufwändige Simulation zum Wasserstoffatom zur Verfügung.

Ein Wasserstoffatom kann mit Licht einer Quelle bestrahlt werden. Dabei hat man die Wahl zwischen einer "weißen" Lichtquelle, die Photonen vom Ultravioletten bis zum Infraroten abstrahlt, und einer monochromatiscehn Lichtquelle, die nur Photonen einer einzigen Farbe aussendet. (Auswahl der Lichtquelle).

Zunächst kann man sich darstellen lassen, wie das Realexperiment ausfallen würde (Schalter links oben auf "Experiment"). Hierbei ist es sinnvoll das Spektrometer, welches die vom Wasserstoffatom emittierten Photonen erfasst, einzuschalten.

Zur Beschleunigung des Versuchsablaufes kann man den Geschwindigkeitsregler (Mitte, unten) auf schnell stellen.

Das Ergebnis des Versuchs kann man festhalten, indem man beim Spektrometer auf das Symbol des Photoapperates klickt.

Legt man den Schalter rechts oben auf "Vorhersage", so hat man die Auswahl über die Vorhersagen des Versuchsergebnisses bei verschiedenen Modellannahmen. Zur Verfügung stehen:

  • Das Masse-Kugel-Modell von DALTON
  • Das Rosinenkuchen Modell von THOMSON
  • Das RUTHERFORD-Modell (Klassisches Sonnensystem)
  • Das Atommodell von BOHR
  • Die Atomvorstellung von de BROGLIE
  • Das quantenmechanische Modell von SCHRÖDINGER

In allen Fällen kann man sich wieder das Spektrum der emittierten Photonen anschauen und auch die Übergänge im Atom darstellen lassen (Elektronenniveaus auf der rechten Seite).

Aufgabe

Spielen Sie die Vorhersagen der verschiedenen Modell durch und halten Sie jeweils das sich ergebende Emissionsspektrum fest. Vergleichen Sie mit dem Emissionsspektrum des "Realexperiments".

Bereits im Jahr 1935 veröffentlichte der  Physiker Erwin Schrödinger mit „Schrödingers Katze“ ein Gedankenexperiment, das die direkte Übertragung quantenmechanischer Begriffe auf die makroskopische Welt problematisiert: Eine Katze befindet sich in einer Kiste, gemeinsam mit einer geringen Menge radioaktiver Substanz. Diese ist so gewählt, dass es innerhalb einer Stunde gleich wahrscheinlich ist, ob eines der radioaktiven Atome zerfällt oder kein Zerfall stattfindet. Darüber hinaus befinden sich in der Kiste ein Detektor, ein Hammer und ein Gefäß mit einer giftigen Substanz. Sobald ein Atom nun seinen Zustand ändert, wird der Zerfall durch den Detektor registriert. Dadurch wird der Hammer bewegt, der daraufhin das Gefäß mit der giftigen Substanz zerstört. Die Katze stirbt.
 

Schroedingers Katze
 

Solange die Kiste verschlossen ist, ist von außen betrachtet jedoch nicht klar, ob das Atom zerfallen ist oder nicht. Es befindet sich in einem überlagerten Zustand. Doch gerade von dem Zerfall des Atoms hängt die „Lebendigkeit“ der Katze in dem Gedankenexperiment ab. Solange die Kiste nicht geöffnet wird, befindet sich die Katze quasi auch in einem „Zwischenzustand“ – sie ist zu 50% lebendig und zu 50% tot. Sie befindet sich in einer s. g. „Superposition“ dieser beiden Zustände. Nach den Regeln der Quantenmechanik wird der Zustand erst dann eindeutig festgelegt, wenn das System mit der Umwelt interagiert, also eine „Messung“ durchgeführt wird. Diese führt bei einer quantenmechanischen Superposition dazu, dass das jeweilige Teilchen wieder einen eindeutigen Zustand annimmt, und zwar zufällig einen der in der Superposition enthaltenen Zustände.
 
Das Paradoxon besteht darin, dass dem Gedankenexperiment nach eine Katze als makroskopisches System mit den Regeln der Quantenmechanik in einen Überlagerungszustand aus „lebendig“ und „tot“ gebracht werden könnte, bis erst durch die Beobachtung einer der Zustände festgelegt wird. Dies widerspricht jedoch unserer Anschauung und Alltagserfahrung. „Schrödingers Katze“ zeigt damit, dass quantenmechanische Gesetze nicht einfach auf Alltagssysteme übertragen werden dürfen.
 
Anders verhält sich das im mikroskopischen Bereich. So können Quantenobjekte wie z. B. Photonen oder Elektronen gleichzeitig mehrere Zustände annehmen. Ein Photon beispielsweise kann beim Doppelspaltexperiment gleichzeitig sowohl den einen als auch den anderen Spalt durchdringen. Will man jedoch genau beobachten, wie das Photon die beiden Spalte durchläuft, so wird durch die Messung der Weg des Photons festgelegt und das Experiment verläuft im Ergebnis anders.

Quantenmechanischen Betrachtung des Wasserstoffatoms

Gewinnung der Energiewerte des Elektrons mit Hilfe eines Simulationsprogramms von Dr. Küblbeck

Problemstellung:
Beim Wasserstoffatom hält sich ein einzelnes Elektron im Coulomb-Potential des Atomkerns auf. Es kann dabei nicht beliebige Energiewerte annehmen - seine Energie ist quantisiert.

Die exakte quantenmechanische Berechnung (zur Berechnung auf der milq-Seite) der erlaubten Energiewerte mit Hilfe der Schrödingergleichung kann mit der in der Schule gelernten Mathematik nicht durchgeführt werden. Das Bohrsche Atommodell, das einem die Energien gut errechnet, führt leicht zu Fehlvorstellungen in der Modellbildung, da dort die Elektronen auf wohldefinierten Bahnen laufen, was im Widerspruch zur Quantenmechanik ist.
In einem ersten Schritt lassen wir uns einfach die Schrödingergleichung von einem Programm für vorgegebene Energiewerte ausrechnen und probieren so lange, bis die Psi-Funktion ψ(r) im Unendlichen Null wird. Da das Quadrat der Psi-Funktion |ψ(r)|2 ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit darstellt, ist es eine zwingende Randbedingung, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Unendlichen Null ist und damit ψ(∞) = 0 ist.

Programm: Schrödingers Schlange
Das Programm von Dr. J. Küblbeck, Ludwigsburg löst die Schrödingergleichung für ein Elektron. Mit Hilfe von Reglern kann die Energie des Elektrons so fein eingestellt werden, dass die ψ-Funktion beschränkt bleibt. Dies liefert die Energiewerte. Rechts sieht man die Endergebnisse des Programms für n = 1, n = 2 und n = 3 übereinanderkopiert.

Aufgabe:
Bestimmen Sie mit dem Programm die Energieeigenwerte für n =1, 2, 3 und 4 und vergleichen Sie mit den Werten nach Bohr (En= - 13,6eV/n²)

 

Programmdownload als Zip-Datei (368k)

Prof. Lesch erläutert in dieser Sendung von BR-Alpha das quantenmechanische Phänomen des Tunneleffekts, der z.B. beim Alpha-Zerfall eine große Rolle spielt.

zum Video


Das Programm von Paul Falstad kann unter der Adresse http://www.falstad.com/qmatom/ betrachtet werden oder als zip-Datei heruntergeladen werden (Adresse: falstad.com/qmatom/qmatom.zip).

Im oberen Teil des Bildes ist ein Schnitt durch das Potential skizziert. Die grauen Linien stellen die Energieniveaus dar.

Hinweise:

  • Die zeitunabhängigen Wellenfunktionen Ψ(r) werden hier echt berechnet und sind keine gemalten Orbitalbildchen!
  • Bildet man das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(r)|2, so erhält man eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einem bestimmten Ort zu finden (ist hier nicht dargestellt).
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