Akustische Wellen

Akustik

Akustische Wellen

  • Was versteht man unter Frequenz, was unter Amplitude?
  • Wie beschreibt man Schallwellen mathematisch?
  • Was ist der DOPPLER-Effekt?
  • Wie sorgt Antischall für Ruhe?

Schall kann reflektiert, gebrochen und gebeugt werden. Diese Tatsachen deuten darauf hin, dass sich Schall in Form einer Welle ausbreitet. Ein untrügliches Zeichen für den Wellencharakter des Schalls ist das Auftreten von Interferenzerscheinungen (z.B. stehende Schallwellen oder Zwei-Quellen-Interferenz bei Lautsprechern).

Schallwellen in verschiedenen Körpern

Festkörper:

In Festkörpern kann der Schall als Quer- und als Längswelle auftreten.

Hinweis:
Die Dehnung bzw. Stauchung der Federn im Modell ist ein Maß für die Stärke der Kopplungskräfte zwischen den Teilchen. In der Animation kann man sehen, dass die Kopplungskräfte in Richtung der Longitudinalwelle größer sind als in Richtung der Transversalwelle. Wo größere Kräfte wirken, treten auch größere Beschleunigungen auf. Somit ist auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle größer als die der Transversalwelle. Diese Tatsache lässt sich auch bei Erdbebenwellen beobachten.

 

Flüssigkeiten und Gase:

In idealen Flüssigkeiten (freie Verschiebbarkeit der Teilchen) und Gasen sind die Kopplungskräfte zwischen den Teilchen zu vernachlässigen. Somit ist die Ausbreitung des Schalls in Form einer Querwelle in diesen Medien nicht denkbar.

In idealen Flüssigkeiten und Gasen breitet sich der Schall nur in Form einer Längswelle aus. Störungen werden als Dichteschwankungen der Teilchen weitergegeben (vgl. hierzu die Animation von Krahmer/Christian).

Die folgende Animation zeigt die Fortpflanzung einer Störung. Die eingezeichneten Federn sollen symbolisieren, dass die Teilchen (nur) in Längsrichtung Kräfte aufeinander ausüben können.

Erzeugt man zwei Töne gleicher Lautstärke (d.h. die Schwingungen haben gleiche Amplitude) mit leicht verschiedenen Frequenzen f1 und f2 (f1 ≈ f2), so nimmt unser Ohr nicht die beiden Töne getrennt wahr. Vielmehr hören wir ein An- und Abschwellen eines Tones, dessen Höhe ungefähr mit der Höhe der Ausgangstöne übereinstimmt. Man bezeichnet diese Erscheinung als Schwebung.

Die nebenstehende Abbildung zeigt die t-y-Diagramme der beiden Ausgangstöne (f1 > f2 und f1 ≈ f2). Für die Diagramme wurden f1 = 530 Hz und f2 = 500 Hz gewählt.

Als Überlagerung ergibt sich eine Schwingung, deren Frequenz das arithmetische Mittel der beiden Ausgangsfrequenzen ist:

fres = (f1 + f2)/2.

Die Amplitude der Überlagerungsschwingung schwankt mit der Schwebungsfrequenz fs = (f1 - f2)/2.
Diese Schwebungsfrequenz ist in der Regel sehr viel kleiner als die Frequenz der resultierenden Schwingung fres.

Je näher die beiden Ausgangsfrequenzen beieinander liegen, desto langsamer schwillt die Lautstärke der resultierenden Schwingung an und ab (desto geringer ist die Schwebungsfrequenz).

Mathematisch lassen sich die Beziehungen für die resultierende Frequenz und die Schwebungsfrequenz leicht ableiten:

Für die resultierende Schwingung gilt:
\[{y_{res}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_1} \cdot t} \right) + \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_2} \cdot t} \right) \quad(1)\]

Aus der Trigonometrie kennt man die folgende Beziehung:
\[\sin \left( \alpha  \right) + \sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \quad(2)\]

Wendet man die Beziehung \((2)\) bei der Gleichung \((1)\) an, so folgt:
\[{y_{res}}(t) = \overbrace {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} - {f_2}}}{2}}_{{\rm{Schwebungsfrequenz}}\;{f_S}} \cdot t} \right)}^{{\rm{Amplitudenfaktor}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}}_{{\rm{resultierende}}\;{\rm{Frequenz}}\;{f_{res}}} \cdot t} \right)\]

Beispiele für Anwendungen:

  • Tiefe Töne sind über große Entfernungen weiter hörbar als hohe Töne. Deswegen versucht man Schiffsbrüchigen eine Pfeife mitzugeben, die möglichst tiefe Töne von sich gibt. Wollte man einen tiefen Ton direkt erzeugen, würde die Pfeife (vgl. Orgelpfeife) sehr unhandlich groß. Durch Überlagerung zweier Töne gelingt es eine niederfrequente Schwingung mit der Schwebungsfrequenz zu erzeugen.
  • Beim Stimmen einer Gitarre kann man die Schwebung ausnutzen (vgl. die entsprechende Musteraufgabe).

Hinweise:

Ein Notarztwagen fährt mit eingeschaltetem Martinshorn an einer Person vorbei, die an der Straße steht. Solange das Fahrzeug näherkommt, nimmt die Person einen höheren Ton wahr (entsprechend einer höheren Frequenz); später, wenn sich das Fahrzeug wieder entfernt, hört sie einen niedrigeren Ton (niedrigere Frequenz).

Bemerkung: In einer Hinsicht ist diese App ausgesprochen unrealistisch: Damit der Doppler-Effekt deutlich zu erkennen ist, wurde eine extrem hohe Fahrzeuggeschwindigkeit (60 % der Schallgeschwindigkeit) vorausgesetzt.

©  W. Fendt 1998

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Bestimme durch Stoppen mit der Stoppuhr den zeitlichen Abstand zwischen zwei Wellenfronten beim sich nähernden und beim sich entfernenden Krankenwagen.

Errechne daraus und aus der Schallgeschwindigkeit \({c_{Schall}} = 334\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) jeweils die (unrealistische) Frequenz.

Sie haben sicher schon erlebt, dass sich eine Schallquelle auf Sie zu bewegt hat (z.B. Krankenauto mit Sirene), bzw. dass Sie sich mit höherer Geschwindigkeit einer ruhenden Schallquelle genähert haben. In beiden Fällen tritt eine Frequenzänderung des gehörten Tones auf.

Dieses Phänomen, das in ähnlicher Form auch bei bewegten Lichtquellen auftritt, wurde von dem österreichischen Physiker Christian DOPPLER (1803 – 1853) geklärt. Man nennt dieses Phänomen seither den Doppler-Effekt.

Noch etwas detaillierter können Sie den Doppler-Effekt in dem Applet von Bauer (Michigan State University) studieren. Sie können hierbei die Geschwindigkeit der Quelle variieren und die sich dadurch ergebenden Änderungen einprägen. Insbesondere können auch die Fälle untersucht werden, bei denen die Quellengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit ist (Überschallgeschwindigkeit).

Bei der Analyse des Doppler-Effektes muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden.

1. Fall: Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Der höhere Ton bei der Annäherung der Quelle ist dadurch zu erklären, dass die z.B. die Wellenberge in kürzeren Abständen beim Beobachter eintreffen, d.h. die Wellenlänge wird kleiner und bei fester Schallgeschwindigkeit \(c\) damit die gehörte Frequenz \(f’\) (zur Erinnerung: \(c = f’ \cdot \lambda\) ) größer.

Bei \(t=0\) sende die Quelle gerade einen Wellenberg (rot) ab. Zur Zeit \(t=T\) hat sich dieser Wellenberg um die Strecke \(\lambda \) ausgebreitet. Die Quelle (jetzt grün) hat sich in dieser Zeit um die Strecke \(v \cdot t\) bewegt und sendet gerade wieder einen Wellenberg (grün) aus.

Für die vom Beobachter registrierte Wellenlänge \(\lambda '\) gilt:
\[\lambda ' = \lambda  - v \cdot T\]
Die vom Beobachter registrierte Frequenz \(f'\) gilt dann:
\[f' = \frac{c}{{\lambda '}} = \frac{c}{{\lambda  - v \cdot T}} = \frac{c}{{\frac{c}{f} - v \cdot T}}\]
Erweitern des Bruches mit \(f\) ergibt:
\[f' = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot f}} = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot \frac{1}{T}}} = f \cdot \frac{c}{{c - v}}\quad(1)\]
Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so ist in obiger Formel \(v\) durch \((-v)\) zu ersetzen und es ergibt sich:
\[f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}}(2)\]
Die Frequenz wird also – wie die Erfahrung auch zeigt – kleiner.

Wie Sie in dem Applet beobachten konnten, kommt es für \(v > c\) zu einer Verdichtung der Wellenfronten. Die Einhüllende der Wellenberge wird als Machscher Kegel bezeichnet. An der Mantelfläche des Kegels summieren sich die Luftverdichtungen, es entsteht ein besonders starker Überdruck, der sich für den Beobachter in einem explosionsartigen Knall äußert. Ein mit Überschall fliegendes Flugzeug "schleppt" seinen "Düsenknall" auf dem Mantel des Machschen Kegels fortwährend hinter sich her.

Für den Öffnungswinkel des Machschen Kegels gilt
\[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{c \cdot t}}{{v \cdot t}} = \frac{c}{v}\]

von Ensign John Gay, U.S. Navy [Public domain],
via Wikimedia Commons

Die Abbildung zeigt einen Düsenjet der US-Navy, der gerade die Schallmauer durchbricht. Auf Grund günstiger atmosphärischer Bedingungen ist die Hüllkurve des machschen Kegels zu beobachten.

2. Fall: Die Schallquelle ruht (in Bezug zum Medium Luft) – der Beobachter bewegt sich

In diesem Fall ändert sich die Wellenlänge \(\lambda \) nicht. Die Frequenzverschiebung kommt nun dadurch zustande, dass sich die Relativgeschwindigkeit \( v_\text{rel} \) zwischen Schallwelle und Beobachter, die im ruhenden Fall die Schallgeschwindigkeit \( c \) ist, durch die Bewegung des Beobachters ändert.

a) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) auf die Quelle zu:
\[{v_\text{rel}} = c + v \Rightarrow f' = \frac{{c + v}}{\lambda } = \frac{{c + v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c + v}}{c}(3)\]
Beachten Sie, dass die Formel \((3)\) nicht mit der Formel \((2)\) übereinstimmt.

b) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) von der Quelle weg:
\[{v_\text{rel}} = c - v \Rightarrow f' = \frac{{c - v}}{\lambda } = \frac{{c - v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c - v}}{c}(4)\]
Beachten Sie, dass die Formel \((4)\) nicht mit der Formel \((1)\) übereinstimmt.

Führen Sie den Mauszeiger über das Bild, um die Animation zu starten!

Die nebenstehende kleine Animation verdeutlicht noch einmal, wie sich die Frequenz (hier die Frequenz der roten Kugel) ändert, wenn sich der Empfänger (blau) auf die Quelle (lila) zubewegt oder von ihr wegbewegt.

Zusammenfassung

Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung der Schallquelle zum Medium ändert sich für den Beobachter die Wellenlänge \(\lambda \) der Schallwelle.

Bewegt sich die Quelle auf den Beobachter zu, so steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c - v}} \quad(1)\).

Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}} \quad(2)\).

Die Schallquelle ruht – der Beobachter bewegt sich (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung des Beobachters zum Medium ändert sich für den Beobachter die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Schallwelle.

Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c + v}}{c} \quad(3)\).

Bewegt sich der Beobachter von der Quelle weg, sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c - v}}{c} \quad(4)\).

In der graphischen Darstellung ist die Frequenz \(f’\) in Abhängigkeit vom Quotienten \(\frac{v}{c}\) der Geschwindigkeit \(v\) und der Schallgeschwindigkeit \(c\) für die vier verschiedenen Fälle dargestellt.

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